Таким образом, значение этих систем для Лукасевича двоякое: философское и математическое.[33]


§ 2. Модальные логики.


Уже первые изложения трехзначной логики в 1920 г. содержали явную связь модальности и многозначности. Лукасевич считал, что в двузначной логике не удастся согласовать интуитивные трактовки модальных функторов. Эта мысль является следствием объяснения формализации модальностей не как операторов, а как функторов, уравненных концептуально в правах с логическими знаками. Это свое убеждение Лукасевич последовательно выражал на протяжении всего своего научного творчества. [34]

Первое систематическое изложение модальной логики дано Лукасевичем в работе с названием "Философские замечания о многозначных системах исчисления предложений."[1930] Правда, здесь не представлена система модальной логики как таковая, но только показаны требования, которым должна, по мнению Лукасевича, удовлетворять такая система. Модальными предложениями Лукасевич называет следующие четыре выражения:

(1) возможно, что p - символически : Mp;

(2) невозможно, что p - символически : NMp;

(3) возможно, что не-p - символически : MNp;

(4) невозможно, что не-p - символически : NMNp.

Традиционные утверждения о модальностях по мнению Лукасевича можно разделить на три группы. К первой группе относятся предложения следующего вида: (a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Если что-либо необходимо, то оно существует); (b) Ab esse ad posse valet consequentia (Если что-либо существует, то оно возможно); (с) Ab non posse ad non esse valet consequentia (Если что-либо невозможно, то оно не существует). Общим представителем этой группы является предложение

(I): Если невозможно, что p, то не-p.

Вторую группу составляет утверждение Лейбница из Теодицеи: (d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Чтобы то ни было, когда оно существует - оно необходимо). Лукасевич замечает, что последнее высказывание в действительности происходит от Аристотеля и разбирает возможные интерпретации Стагирита. В результате анализа оказывается, что слово "quando" в предложении (d), как и соответствующее ему "hotan" у Аристотеля, являются частицами, выражающими не условие, но время. Однако временная форма переходит в условную форму, поскольку в связанных временными рамками предложениях определение времени оказывается включенным в содержание предложений.[35]

Предложение (d) имеет следующую эквивалентную формулировку

(II): Если предполагается, что не-p, то невозможно, что p.

Третью группу представляет аристотелевский принцип обоюдной возможности

(III): Для некоторого p, возможно, что p, и возможно, что не-p.

В символике исчисления высказываний предложения (a)-(c) имеют вид: (1) CNMpNp, (2) CNpNMp, (3) S pKMpMNp (в последнюю формулу входит знак экзистенциального квантора). Выражения (I)-(III) Лукасевич трактует как временные аксиомы модальной логики и выводит из них при помощи обычного исчисления высказываний ряд следствий: (5) CpMp, (6) CNpMNp, (7) CNMNpp, (8) CNMNpMp, (9) CNMpMNp, (10) CMpp, (11) CMNpNp, (12) CpNMNp, (13) CMpNMNp, (14) CMNpNMp. Формулы (5)-(9) являются следствиями (I), а оставшиеся - следствиями (II). Некоторые из приведенных формул очевидны, например, (5), которая утверждает, что то, что существует, возможно. Однако другие весьма сомнительны с интуитивной точки зрения, например, (10), утверждающая, что если что-либо возможно, то оно существует. Короче говоря, следствия, полученные из (I) интуитивно прозрачнее, нежели следствия из (II). Аксиома (II) является обратной аксиоме (I). Взаимно противоположными являются формулы (5) и (10), (6) и (11), (7) и (12), (8) и (13), (9) и (14). Поэтому имеют место эквивалентности EpMp, ENpMNp, ENMNpp, ENMNpMp, ENMpMNp, а понятия возможности и необходимости становятся излишними, поскольку каждое из последних предложений эквивалентно либо "p", либо "Np". Лукасевич считает, что причина такого положения дел заключается в невозможности сформулировать в двухзначном исчислении утверждение (II).

Следствия из утверждения (III) также не радуют Лукасевича. Используя определение универсального квантора через квантор экзистенциальный и отрицание из (III) получаем

(IV) NПpNKMpMNp.

Применяя к (IV) выводимую в Прототетике Лесьневского формулу CKfpfNpfq получаем ПpMp, т.е. все является возможным, как и ничто не является невозможным, а равно и ничто не является не необходимым. Существенная идея этого вывода в том, что функтор M является функтором в смысле Прототетики Лесьневского, т.е. экстенсиональным функтором. Взяв в качестве посылок (10) CMpp и ПpMp сразу же получаем Пp,p. А это означает, что система модальной логики, основанная на аксиомах (I)-(III) противоречива, поскольку к ее следствиям принадлежит произвольное предложение. Лукасевич заключает: "С учетом этого можно бы решить вопрос модальных предложений, основываясь на двузначном исчислении предложений, двояким образом: утверждение (I) и связанные с ним формулы первой группы [.