Из двух аксиом - органичной и неорганичной лучшей является аксиома органичная. Понятие органичной формулы происходит от Лесьневского, а ее дефиниция - от Вайсберга. Впервые она была опубликована Лукасевичем и Тарским[1930a]. В конечном счете идеальная аксиоматика должна состоять из одной органичной аксиомы минимальной длины и по возможности с наименьшим числом различных символов. Наиболее естественно приведенные критерии применимы к исчислениям высказываний, но в школе искали подобные критерии и для более богатых систем. Так Линденбаум [1936] привел критерий простоты для произвольных функторов, заключающийся в том, что функтор F1 проще функтора F2, если число аргументов F1 меньше числа аргументов функтора F2, а в случае, если оба функтора имеют одинаковое число аргументов, то F1 будет проще, если по крайней мере один из его аргументов будет более низкого логического типа, чем произвольный аргумент F2 и никакой аргумент F1 не принадлежит к более высокому типу, нежели произвольный аргумент F2. Этот критерий применим, например, к системам Лесьневского.

Приведенные критерии отражают культивируемый в варшавской части школы лозунг «логика для логики». Ниже приводится обзор некоторых результатов классического исчисления высказываний.

Наиболее известной системой исчисления высказываний является система, основанная на импликации и отрицании как первичных терминах. В школе был известен ряд аксиоматик этой системы. Одна из первых принадлежит Лукасевичу [1925], а все исчисление подробно изложено в [1929]. В качестве аксиом Лукасевич принимает следующие формулы:

(1) CCpqCCqrCpr

(2) CCNppp

(3) CpCNpq

Правилами вывода являются правила подстановки, отделения и замены по определению. Последнее правило сформулировано следующим образом: если x доказуемо в исчислении, а y есть часть x, эквиморфная правой стороне одной из дефиниций Dpq=CNpq, Kpq=NCpNq, Apq=CpNq, Epq=NCCpqNCqp относительно подстановки, то каждое выражение, полученное из x заменой y выражением эквиморфным с левой стороной дефиниции либо ее подстановкой, является доказуемым в системе.

Таким образом, в основе исчисления лежат правила подстановки, отделения и замены по определению. В варшавской школе схемы аксиом использовались только при формализации металогических и метаматематических исследований; конструкции же логических систем были сформулированы исключительно при помощи конкретных формул. Символ равенства по определению (“=”) не принадлежит языку системы. Лукасевич трактует дефиниции как сокращения, считая их теоретически излишними. Лесьневский же в вопросе о дефинициях занимал иную позицию, но и Лукасевич позже изменил взгляд на дефиниции, о чем будет сказано ниже. Так в рассматриваемой системе роль дефиниций сугубо прагматическая, ибо они не носят характер творческий и Лукасевич считает, что дефиниции не являются доказуемыми выражениями, но лишь "равенствами на полях теории".

Из аксиом (1)-(3) при помощи правил подстановки, отделения и замены Лукасевич выводит 143 формулы исчисления высказываний. Доказательство занимает 19 страниц и с учетом словесного комментария для столь значительной части пропозиционального исчисления должно считаться весьма компактным,. Этот эффект был достигнут благодаря использованию экономичного метода записи структуры доказательства. Пример поясняет метод Лукасевича[14]:

(1)p/Cpq, q/CCqrCpr, r/s *C(1)-(4)

(4) CCCCqrCprsCCpqs.

Реконструкция доказательства формулы (4) состоит из следующих шагов. В аксиому (1) производится подстановка: вместо переменной p - выражение Cpq (этому шагу соответствует секвенция (1)p/Cpq), вместо переменной q - выражение CCqrCpr (секвенция q/CCqrCpr), вместо переменной r - переменная s (секвенция r/s); все подстановки совершаются в аксиому (1), что в строке доказательства сигнализируется тем, что между первым вхождением литеры p в этой строке и последним вхождением s (последняя литера перед звездочкой) не находится ни один номер аксиомы или формулы. После подстановки получается выражение CCCpqCCqrCprCCCCqrCprsCCpqs. Посылка этой импликации (главного функтора С), т.е. выражение, начинающееся вторым вхождением литеры С и кончающееся вторым вхождением r, представляет собой аксиому (1), а следствие - доказуемую формулу. Поскольку подстановка осуществлялась в формулу исчисления, а настоящая формула является таковой, и правило подстановки говорит, что результат подстановки также принадлежит исчислению, то можно применить правило отделения, о чем информирует последовательность *C(1)-(4).

Описанный способ доказательства в дальнейшем использовался учениками Лукасевича.[15]

Помимо исчисления, основанного на аксиомах (1)-(3) в варшавской школе использовались и другие импликативные аксиоматики. Вот некоторые трехэлементные системы аксиом: CCCpqrCNpr, CCCpqrCqr, CCNprCCqrCCpqr - Лукасевич [1929]; CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CCNprCCqrCCpqr - Лукасевич [1930]; CNpCpq, CpCqCrp, CCNprCCqrCCpqr - Собоцинский [1954]; CCpqCNqCpr, CpCqCrp, CCNpqCCpqq - Собоцинский [1954].