..] следует признать безусловно; в них никогда не сомневались. Из утверждений (II) и (III) можно выбрать только одно. Если мы решимся на утверждение (II) и связанные с ним формулы второй группы [...], то все модальные предложения становятся эквивалентны предложениям немодальным, следствием чего является то, что вообще не стоит вводить в логику предложения модальности; тогда нужно также отбросить весьма интуитивное понятие обоюдной возможности, как ведущее к противоречию. Если же, наоборот, решится на утверждение (III), то мы должны признать парадоксальным вывод, что все возможно, и тогда опять же нет смысла вводить модальные предложения в логику, поскольку нужно также отказаться от очевидного утверждения (II), чтобы избегнуть противоречия. Ни одно из этих решений нельзя признать удовлетворительным".(S.151)

Источником этих трудностей является интерпретация модальных функторов в двузначном исчислении предложений. В этом исчислении существует четыре одноаргументные функции: 1) f1=f0=1 (verum от p); 2) f1=0 и f0=1 (отрицание p); 3) f0=0, f1=1 (эквивалентность fp и p); 4) f1=f0=0 (falsum от p). Функтор возможности должен быть идентичен с одной из выше приведенных функций. Можно показать, что аксиомы (I)-(III) исключают некоторые случаи, например, формула CNMpNp истинна, когда Mp=fp (здесь f - falsum от p). Но главным аргументом в выборе аксиом является несогласованность (II) и (III) в том смысле, что не существует функции f такой, что Mp=fp, для которой (I) или (II) одновременно истинны. Таким образом, Лукасевичем была показана невозможность непосредственного введения модальных функторов в двузначное исчисление высказываний как с синтаксической точки зрения, так и с семантической.

Решение проблемы модальностей Лукасевич, естественно, видит в использовании трехзначной логики, а точнее - в нахождении в L3 такого определения возможности, которое бы выполняло условия, очерченные в (I)-(III). Первая удовлетворительная дефиниция имела вид Mp=AENpПqNCpKqNq. Эта довольно сложная по свидетельству самого Лукасевича дефиниция должна быть прочитана следующим образом: "возможно, что p значит то, что "или предложение p и не-p равнозначны, или не существует такой пары противоречивых предложений, которые бы следовали из предложения p". В более общем значении понятие возможности в L3 предложил в 1921 г. Тарский: Mp=CNpp. Дефиниенс этого определения ложен тогда и только тогда, когда p=1/2. Из этого определения и таблиц для C и N получаем равенства: M0=0, M1/2=1, M1=1. Согласно этим равенствам, если предложение p ложно, то ложно также и предложение Mp, но Mp истинно, когда p истинно или p принимает третье значение. Этот результат Лукасевич посчитал наиболее согласованным с интуицией. Определение необходимости имеет вид Lp=NCpNp в соответствии с общепринятой схемой Lp=NMNp. Заканчивая свое первое систематическое изложение модальной логики в духе логики многозначной Лукасевич полностью принимает изложенные выше определения возможности и необходимости: " Решительно не высказываясь об интуитивном смысле приведенной выше дефиниции, мы должны однако признать, что эта дефиниция удовлетворяет всем условиям, определенным в утверждениях (I)-(III), и в частности, как это доказал г.Тарский, что это единственная возможная в трехзначной системе дефиниция, выполняющая эти условия". (Лукасевич [1930], S.156)

Поскольку позже Лукасевич вернулся к проблематике модальной логики, то естественно считать, что первое ее изложение не удовлетворяло его. Новое изложение [1953] модальной логики Лукасевич начинает с изложения условий, которым по его мнению должна удовлетворять такая логика:

(1) утверждается импликация CpMp;

(2) отбрасывается импликация CMpp;

(3) отбрасывается предложение Mp;

(4) утверждается импликация CLpp;

(5) отбрасывается импликация CpLp;

(6) отбрасывается предложение NLp;

(7) утверждается эквивалентность EMpNLNp;

(8) утверждается эквивалентность ELpNMNp.

Понятия "утверждения" и "отбрасывания" принадлежат системе и обозначаются соответственно "Ѕѕ " и "ѕЅ ". Первое условие соответствует принципу Ab esse ad posse valet consequentia. Второе условие соответствует высказыванию A posse ad esse non valet consequentia. В третьем условии говорится, что не все выражения, начинающиеся с M утверждаются, поскольку в противном случае Mp было бы равносильно функции "verum от p", которая не является модальной функцией. Четвертое условие соответствует принципу Ab oportere ad esse valet consequentia. Пятое условие соответствует высказыванию Ab esse ad oportere non valet consequentia. В шестом условии говорится, что не все выражения, начинающиеся с NL являются утверждениями, поскольку в противном случае Lp было бы равносильно функции "falsum от p", которая не является функцией модальности. Последние два условия представляют очевидные связи между возможностью и необходимостью.

Лукасевич предлагает для "основной модальной логики" следующую совокупность формул в качестве аксиом: (A1) Ѕѕ CpMp, (A2) ѕЅ CMpp, (A3) ѕЅ Mp, (A4) Ѕѕ EMpMNNp с правилами