([1934], S.9)

Правила построения системы Яськовского следующие:

(R1) К каждой области формул D можно добавить выражения, состоящие из (a) префикса, который отличен от начального сегмента префикса произвольного элемента D, (b) точки, (c) символа S, (d) предложения.

(RII) Если в области D допущения x истинным является предложение y, то к области, в которой D является подобластью, можно добавить предложение Cxy. Из двух областей D и D`, где D - область допущения x, а D` - абсолютная область или область допущения x`, префикс которой идентичен с начальным сегментом префикса допущения x, D является подобластью D` и D есть непосредственная подобласть D` тогда и только тогда, когда D не является подобластью никакой подобласти D`.

(RIII) Если в данной области D истинны предложения Cxy и x, то допустимо к D добавить y; это правило, конечно, является правилом modus ponens для естественного вывода.

(RIV) Если в области D допущения Nx истинны предложения y и Ny, то к области, относительно которой D является подобластью, можно добавить предложение x.

Используя приведенные правила Яськовский конструирует систему, содержащую 59 предложений "теории дедукции" (в выводе обозначаемых td); ниже приводятся первые двадцать из них (с правой стороны даны номера предложений и правил, используемых в выводе данного предложения:

td1 1.Sp I

td2 1.1.SCpq I

td3 1.1.q III,2,1

td4 1.CCpqq II,2,3

td5 CpCCpqq II,1,4

td6 2.SCNpNq I

td7 2.1.Sq I

td8 2.1.1.SNp I

td9 2.1.1.Nq III,6,8

td10 2.1.p IV,8,7,9

td11 2.Cqp II,7,10

td12 CCNpNqCqp II,6,11

td13 1.2.Sq I

td14 1.Cqp II,13,1

td15 CpCqp II,1,14

td16 1.3.SNp I

td17 1.3.1.SNq I

td18 1.3.q IV,17,1,16

td19 1.CNpq II,16,18

td20 CpCNpq II,1,19


Таким образом, система вывода Яськовского строится на допущениях и правилах вывода, но ее отличие от генценовской системы помимо кодификационных особенностей, определяемых, вероятно, бесскобочной записью, состоит и в том, что она сохраняет подобласти абсолютной области (означаемой по мере построения формулами без префиксов) и тем самым содержит также правила построения всей системы. Итак, утверждения логики в системе Яськовского не предваряют цифровые префиксы. Он формулирует метатеорему, утверждающую эквивалентность аксиоматической системы Лукасевича и системы, построенной на допущениях. "Доказательство" этого утверждения является в сущности лишь абрисом проблемы и покоится на понятии построения предложения, центральное значение которого передается термином "эквиморфный" (equiform).

Несомненно, конструкция Яськовского принадлежит к наиболее выдающимся достижениям, полученным не только семинаре Лукасевича, но и во Львовско-варшавской школе. Если учесть, что первые результаты датируются 1926 г., то система польского логика является первой системой естественного вывода в логической практике.


§ 6. Метаматематические исследования логики.


Обзор развития логических исследований в школе (классического пропозиционального исчисления; неклассическим логикам будет посвящен отдельный параграф) закончим кратким абрисом, в центре которого находится работа Лукасевича и Тарского[1930] "Исследования исчисления предложений", называемой авторами в тексте также и "сообщением". Цель этого сообщения состояла в подытоживании фактов, "касающихся [...] "метаматематики", или - лучше - "металогики"".

Первые результаты из области металогики относятся к 1924 г. В сообщении Лукасевича [1925] (еще без доказательства) утверждается, что аксиомы исчисления высказываний в Principia Mathematica Рассела и Уайтхеда, а также аксиомы, приведенные Гильбертом, как и аксиомы самого Лукасевича, изложенные выше, не являются независимыми.