Поэтому для каждого распределения значений аргументов, например, 0 и 1 , встает вопрос об отличении значений функций, которые для данного распределения, несмотря на тезис об экстенсиональности, могут отличаться именами и являются функциями-константами. Поэтому построение Прототетики при помощи правил подстановки, отделения и использования кванторов все же главным образом зависит от правил, регулирующих использование определений, которыми и вводятся в систему новые имена. С другой стороны, следует помнить о крайнем номинализме Лесьневского, продиктованном отчасти той же экстенсиональностью, которую в случае Прототетики следует обосновать логически, т.е. определение, которым вводится новый термин, должно одновременно быть и утверждением системы. А поскольку развитие Прототетики происходит в том же направлении, что и в Мереологии и в Онтологии, т.е. в буквальном смысле "слева направо", то правило записи определения, имеющего форму эквивалентности, предписывает дефиниендуму находится всегда в левой части этой эквивалентности. Поэтому помимо обычного правила отделения, сформулированного для эквивалентности и гласящего, что "добавление к системе предложения S допустимо тогда, когда уже эквивалентность A, правая часть которой эквиморфна S, и некоторое предложение, эквиморфное с левой частью эквивалентности A, принадлежат к системе". ( [1929, S.15) Лесьневский приводит также "ненатуральную разновидность "правила отделения", позволяющую утверждать, что предложение S присоединимо к системе, когда уже эквивалентность A, левая часть которой эквиморфна S, и некоторое предложение, с правой частью эквиморфной эквивалентности A, принадлежат к системе". ( S.58)

В развитии Прототетики, насчитывающей пять этапов, соответствующих пяти системам с различными аксиоматиками, принимали участие наряду с Лесьневским также Вайсберг и Собоцинский. В конечном счете Прототетика была сведена к одной аксиоме, кратчайшую из которых, принадлежащую Собоцинскому, мы и приводим[22]:

[pq]:: p є q. є\ [f] \f(pf(p[u].u)). є :[r]:f(qr). є .q є p.

При использовании выше упомянутых правил из этой аксиомы следуют все законы двузначного исчисления высказываний, принцип экстенсиональности и принцип двузначности.

Прототетика является непротиворечивой теорией. Вопрос о полноте Прототетики окончательно нерешен, но Слупецкий [1953] доказал, что полна т.н. элементарная Прототетика, т.е. система, в которой кванторы связывают пропозициональные переменные и функторные переменные первого рода, т.е. переменные для функторов от пропозициональных переменных; полнота в этом случае понимается следующим образом: для каждой формулы p, не содержащей свободных переменных, p является теоремой элементарной Прототетики или формула p, присоединенная к элементарной Прототетике, приводит к противоречию.

В заключение очерка Прототетики заметим, что она вообще говоря не является исчислением, ибо интерпретирована хотя бы номиналистически в том смысле, что ее предметами могут быть и являются прежде всего имена как инскрипции; истинностные значения не только в Прототетике, но и во всей системе "оснований математики" не выделяются в особый вид ни имен, ни предметов и часто просто подразумеваются, когда речь идет о теоремах Прототетики. С учетом выше перечисленных свойств этой теории можно согласиться с мнением, бытующим в польской литературе о Лесьневском, что "Прототетика в определенном смысле является абсолютным исчислением предложений и невозможно представить себе более сильной системы исчисления предложений. Очевидно, Прототетика является системой более сильной, нежели исчисление предложений с переменными функторами, которое может быть отождествлено с элементарной Прототетикой. Кажется, что в так понимаемой абсолютности содержится интересная философская проблема. В связи с тем, что в Прототетике удается доказать принцип двузначности, то эта система может считаться наиболее адекватной репрезентацией классической логики предложений."[23] К сказанному остается добавить, что под предложением следует понимать номинальное суждение.

Поскольку для Лесьневского развитие "системы оснований математики" происходит главным образом посредством определений, то они собственно и составили ядро его "теории дедукции", которую он решительно отделял от системы своих теорий - Прототетики, Онтологии и Мереологии. Несмотря на то, что определения в Прототетике включаются в состав ее предложений и носят творческий характер "проблема дефиниций" Лесьневским была выделена отдельной частью в процессе построения системы и составляет ядро "языка комментариев". Вопросу определений была посвящена отдельная работа "О дефинициях в так называемой теории дедукции".

ТЕОРИЯ ДЕДУКЦИИ. Эта работа является "резюме курса лекций, названного "Об основах так называемой теории "дедукции", прочитанного в Варшавском университете" в 1930/31 академическом году. Главную цель этой работы Лесьневский видит в "формулировании правил, которые позволят из сопоставления аксиом и теорем как дефиниций, обозначенных некоторым специальным образом, присоединить их к системе "теории дедукции" и возможно прецизиозным способом кодифицировать условия, которые для таких дефиниций достаточны.