Проблема дефиниций в основании "теории дедукции" находится совершенно вне системы оснований математики [...]". ([1931 ] , S.291 )

Содержание обсуждаемой работы составляют "терминологические пояснения" (terminologische Erklдrung) на примере одной из аксиом исчисления высказываний и краткого резюме. Терминологические пояснения представляют собой критерии, описывающие на структурном уровне принадлежность того или иного выражения к выражениям, называемым дефинициями, следствиями отделения, следствиями подстановки, предложениями, фундаментальными выражениями, отрицанием и т.п. образованьями, рассматриваемыми на уровне инскрипций или их эквиморфности. Эти критерии по замыслу Лесьневского должны выражать синтаксические эквиваленты семантических свойств используемых терминов. Однако следствием выбранного способа изложения системы, в основе которого лежит процесс номинации во всех теориях, в том числе и в "теории дедукции", таким следствием оказывается параллелизм процессов на всех семиотических уровнях, в том числе и логическом. В качестве примера и подтверждения сказанного приведем одно из первых терминологических пояснений, поскольку другие пояснения весьма обширны и без рассмотрения конкретного примера, представляющего последовательность инскрипций, не многое скажут.

"Терминологическое пояснение I." О предмете A я скажу - пишет Лесьневский -, что он есть комплекс (Komplex) a (употреблено в genetivus pluralis -Ст.Л.), тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: 1) А есть выражение; 2) когда некоторый предмет есть слово, относящееся к А, то он относится к определенному а; 3) когда некоторый предмет B есть а, некоторый предмет C есть а и определенное слово, относящееся к B относится к C, то B есть тот же предмет, что C; 4) когда некоторый предмет есть а, то он есть выражение относящееся к А". ( [1932 ], S.292)

На основании этого и подобных терминологических пояснений, имеющих своим предметом физические объекты в виде конкретных записей, Лесьневский формулирует три условия, выполнение которых позволяет считать присоединяемые к системе предложения теоремами. Условия эти таковы: "1) присоединяемое утверждение является следствием подстановки определенного прежде [полученного] утверждения системы "теории дедукции" относительно последнего утверждения этой системы; 2) присоединяемое утверждение является следствием отделения определенного прежде полученного утверждения "теории дедукции" относительно определенного прежде полученного утверждения этой системы; 3) присоединяемое утверждение является дефиницией относительно последнего утверждения этой системы". ( S.309)

Таким образом понимаемая "теория дедукции" в определенной степени объясняет характер ранее рассмотренных теорий, составляющих "систему оснований математики" и являющихся конкретными физическими образованьями; эти образования ни к коем случае не являются законченными объектами, поскольку их можно расширить и в этом смысле они суть объекты динамические. Вместе с тем конструктивный номинализм Лесьневского предопределяет уникальность его теорий. Так две версии, например, Прототетики, одна из которых базируется на эквивалентности, а другая - на импликации являются двумя совершенно отличными логическими системами, несмотря на то, что в обычном смысле они эквивалентны и взаимно переводимы. Даже две изоморфные с точностью до эквиморфности системы, согласно Лесьневскому, не являются двумя экземплярами одной и той же системы, но двумя разными системами. Вместе с тем системы Лесьневского чрезвычайно богаты в том смысле, что допускают все возможные семантические категории, которые удается получить из основных категорий, т.е. имен и предложений. Чтобы согласовать требования конструктивного номинализма с возможностью расширения систем новыми утверждениями Лесьневский был вынужден в мелочах разрабатывать правила конструкции своих систем. Правила конструирования являются наиболее сложным элементом систем Лесьневского и состоят, как было показано, из терминологических пояснений, выражающих сугубо структурные особенности выражений системы, т.е. они касаются исключительно формы выражений, а не их смысла. Именно поэтому автор этих теорий придал им аксиоматическую форму и во Львовско-варшавской школе был одним из инициаторов формулирования критериев построения аксиом, касающихся их количества, длины и органичности. (Органичной называется такая запись предложения, собственная часть которой не является предложением системы.) Относительно своих систем Лесьневский дополнительно постулировал, что аксиомы должны содержать как можно меньше понятий, принадлежащих к разным семантическим категориям, а также быть каноническими аксиомами; система аксиом является канонической, если состоит из одной аксиомы, эта аксиома имеет вид эквивалентности, а кванторы, записанные снаружи эквивалентности, связывают переменные, находящиеся исключительно в левой части эквивалентности. В системах Лесьневского вообще нет свободных переменных: все переменные "связаны" кванторами.