Существуют фундаментальные научные теории, которые и являются источниками реальных чисел. Диагонали требуют иррациональных чисел, окружности — трансцендентных. Мы не можем обойтись одними константами, нам нужна квантификация по числам. Принятие чисел в качестве значений переменных означает их материализацию и признание цифр их именами. Этого требует общность наших количественных законов.

Измерения иногда рассматривали как приписывание чисел: девять миль, девять галлонов. Мы будем следовать Карнапу8 и строить каждую измерительную шкалу как многоместный общий термин, связывающий физические объекты с чистыми числами. Таким образом, “галлон ху” означает, что жидкость или сыпучий физический объект х равен у галлонов, а выражение “миля хуz” означает, что физические объекты х и у находятся на расстоянии z миль друг от друга. В таком случае чистые числа, по-видимому, принадлежат к нашей онтологии.

Классы также включаются в онтологию, так как, подсчитывая вещи, мы измеряем классы. Если статистическое обобщение, относящееся к некоторой популяции, содержит квантификацию по числам людей, оно должно также включать в себя квантификацию по классам, членами которых являются люди. Квантификация по классам присутствует и в других столь же неприметных случаях, о чем свидетельствует известное определение Фреге понятия “предок” с помощью понятия “родители”: предками некоторого человека являются члены каждого класса, содержащего этого человека и родителей своих членов.

Иногда в естествознании мы явным образом интересуемся классами, а именно в таксономии. Мы читаем, например, что существует свыше четверти миллиона видов жуков. Здесь, очевидно, мы имеем дело с четвертьмиллионными классами и прежде всего и главным образом, — с классом всех таких классов. Однако, мы можем немного сэкономить. Вместо того чтобы в этом контексте говорить о видах, мы можем употреблять двуместный общий термин, применимый к жукам, — “несовпадающий по виду”. Утверждение о том, что существует свыше четверти миллиона видов жуков, эквивалентно утверждению о том, что существует класс, состоящий из свыше четверти миллиона жуков, ни одна пара из которых не совпадает по виду. Последнее утверждение передает нужную информацию и все еще требует материализации обширного класса, однако это класс жуков, а не класс классов жуков.

Такой способ устранения класса классов применим далеко не всегда. Здесь его можно использовать благодаря тому, что виды взаимно несовместимы.

Следует отметить чисто вспомогательную роль классов во всех трех примерах. При подсчете вещей нас больше интересуют считаемые вещи, чем их классы. В примере с генеалогией мы имеем дело с людьми, их родителями и предками; классы появляются лишь при переходе от одних к другим. Большой и даже чрезмерный простор классы получают в примере с жуками. Но даже здесь, когда говорят, что существует столь большое количество видов, интересуются в первую очередь жуками, а не классами. Данное утверждение говорит нам о том, что жуки в высшей степени разборчивы при спаривании. Оно передает именно эту информацию, но делает это более точно, и ссылка на классы как раз способствует большей точности. Наши интересы ограничиваются физическими объектами, и апелляция к классам выполняет лишь инструментальную роль. Я рассматриваю математику в ее отношении к естественным наукам именно с этой точки зрения. Тем не менее, рассматривать классы, числа и тому подобное с инструментальной точки зрения вовсе не значит отрицать возможность их объективации, нужно лишь объяснить, почему?

III

Итак, в дополнение к физическим объектам мы принимаем также абстрактные объекты. Чтобы лучше понять, как это происходит, рассмотрим простой пример с натуральными числами. Условия, которые нам нужно наложить на них, просты и немногочисленны: мы принимаем некоторый объект в качестве первого числа и некоторый оператор, применение которого к какому-нибудь числу порождает единственное новое число. Короче говоря, нам нужна некая прогрессия, ибо любая прогрессия опирается на эти основания. Важнейшее применение натуральных чисел заключается в применении их к измерению классов — в утверждении, что класс имеет п элементов. Доказано, что другие важные применения чисел сводимы к данному. Однако этой цели будет служить любая прогрессия, ибо сказать, что некий класс имеет п элементов, есть то же самое, что сказать, что его элементы находятся в соответствии с членами прогрессии до п, не уточняя при этом, какая прогрессия имеется в виду.

Существует множество способов определения конкретных последовательностей классов. Когда нам нужны натуральные числа, мы можем просто взять члены одной из таких последовательностей — той, которая покажется нам наиболее удобной. В свою очередь, на базе натуральных чисел хорошо известными способами можно с помощью классов определить рациональные и иррациональные числа. При одном из таких построений они оказываются просто определенными классами натуральных чисел.