Более существенным недостатком тезиса о необходимости изгнании бесконечности из математики (логики) является указание на то, что сама математика как деятельность человека, есть деятельность биологически конечного существа с ограниченными интеллектуальными ресурсами. Поэтому появление ЭВМ на горизонте математики не является принципиально новой ситуацией, которая требует принципиально новых подходов к математике. Обращение к истории человеческого познания показывает, что человечество нашло способ преодоления своих ограничений. Этот способ «приручения» бесконечности связан с использованием особого символьного языка, позволяющем вводить абстракции. Именно абстракции и являются той формой, в которой происходит «кодирование» бесконечности. Анализ истории математики (науки) позволяет увидеть, что существенный прогресс в развитии связан с появлением в ее аппарате новых абстракций, введением в ее язык новых «метапеременных». Как пишет С. Маслов, «особенно нагляден в этом отношении переход от арифметики к алгебре, который связан с появлением «языка X-ов и Y-ов» и правил преобразований в этом языке (И. Шафаревич высказывает даже более сильное утверждение о том, что этот подход (появление новых «объектов» счета и правил оперирования с ними — принцип «координатизации») является сутью алгебраического (и математического вообще — К.С.) метода [10]), поскольку, если до появления «языка X-ов и Y-ов» решение квадратных уравнений было творческой задачей, доступным лишь профессиональным математикам, то после «изобретения» нового языка эта задача стала тривиальной и доступной ученикам средней школы (пример 1).

В качестве более современного примера приведем подход Р. Вейхрауха, создателя интеллектуальной системы FOL, (пример 2). Пусть нам дано следующее аксиоматическое исчисление:

аксиома 1: A є A; акс. 2: (A є B) є (B є A); акс. 3: (A є (B є C) є ((A є B) є C)

правило вывода: A [B], B є C Ю A [С], где A [B] (A [С]) - обозначает высказывание

А с подформулой В (С),

в котором надо построить вывод формулы W: (P є Q) є ((Q є R) є (R є P))

Как отмечается в [11], вывод формулы W в данном исчислении занимает около двух страниц. Однако Р. Вейхрауху удалось значительно упростить данную задачу, предложив следующее правило (метаправило) для исчислений подобного типа:

каждое высказывание W, построенное только из пропозициональных переменных с помощью связки эквивалентности «є» таким образом, что любая пропозициональная переменная p входит в W четное число раз (выделено мной — К.С.), является теоремой [12].

Данное правило позволяет «свести» доказательство некоторой формулы W к простому подсчету «четности» разных переменных, что значительно сокращает «вывод» данной формулы W. Это стало возможным за счет использования при построении вывода новой абстракции — «метапеременной» в терминах С. Маслова — «четного числа», которое в языке логики высказываний невыразимо.

Сформулируем основной тезис данной статьи (тезис 4): для решения проблемы бесконечного необходим переход к принципиально новой «логической форме». При этом, вместе с увеличением выразительных возможностей системы, происходит значительное повышение «дедуктивных» возможностей, поскольку новые выразительные средства позволяют сформулировать новые мощные методы решения «трудных» задач (в терминах С. Маслова, появляется возможность формулирования собственно допустимых правил вывода, существенно сокращающих длину вывода [9]).

Не затрагивая подробно диалектику выразительных и дедуктивных возможностей, отметим две ее существенных особенности. Во-первых, история развития науки показывает, что реальный процесс создания новой логической формы может совершаться двояко: либо путем введения новых абстрактных понятий (см. пример 1) — «декларативный» подход; либо путем формулирования новых допустимых правил (см. пример 2) — «процедурный» подход. Во-вторых, указание на одновременное повышение как выразительных, так и дедуктивных возможностей формальных систем не совпадает с «глобальной» логикой развития формальных систем, заключающейся: 1. в расширении ряда ограничительных результатов по мере их развития (P — NP проблема — для логики высказываний; неразрешимость — для логики предикатов; теорема о неполноте — для первопорядковой арифметики); 2. несовпадении «скорости» развития выразительных и дедуктивных возможностей формальных систем [5].

Как уже отмечалось выше, развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем, связанных с поиском наиболее эффективных алгоритмов. Полноценное решение этих проблем, на наш взгляд, связано с переходом к новому типу логических исчислений — логико-эвристическим исчислениям (исчислениям поиска вывода), выразительные средства которых позволяют фиксировать дополнительную, необходимую для эффективного построения вывода, информацию [13]. При построении таких исчислений необходимо существенным образом использовать информацию о структуре испытуемого объекта S, т.е. исчисление P поиска вывода представляет из себя некоторое метаисчисление над B и S, выводимость в котором объекта k эквивалентна выводимости S в исходном исчислении B.