Можно сформулировать и более сильный тезис: проблема бесконечности — и есть проблема собственно науки. Вне теории этой проблемы вообще не существует. Более того, вслед за Д. Гильбертом, который утверждает, что «мы должны бесконечное в смысле бесконечной совокупности понимать как нечто кажущееся», «бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе» [4], можно считать, что проблема бесконечного — это скорее не проблема онтологии, а гносеологии. Конкретизируя эту мысль, можно сказать, что проблема бесконечного — эта проблема выбора подходящего языка описания (тезис 2). Наглядной иллюстрацией вышесказанного может служить ситуация, описанная в фантастическом рассказе, где робот на просьбу разделить торт (единицу) отвечает, что сделать это невозможно (очевидно, в силу невозможности завершить процесс вычисления 1:3 в десятичной системе счисления — К.С.). Однако при переходе к обычным дробям «бесконечность» процесса вычисления исчезает, поскольку 1 : 3 = 1/3. Поэтому неудивительно, что особенно остро проблема бесконечности стоит в математике как образце научности [на это указывает и сходство греческих терминов «mathematike» (математика) «mathema» (наука)]. Собственно, первое проявление проблемы бесконечного открытие феномена несоизмеримости в античной математике (сопоставление этого факта с примером позволяет выдвинуть гипотезу о том, что проблема бесконечности связана, прежде всего, не с геометрией, а с арифметикой, математикой числа).

Второй блок вопросов, связанных с проблемой бесконечного, может быть сформулирован так: как возможно работать с бесконечностью? каким образом конечный интеллект может изучать бесконечное? Позволим себе здесь лишь сформулировать наш тезис — тезис 3 — без приведения какой-либо развернутой аргументации: работать с бесконечностью позволяет логическая (математическая) форма (о понимании термина «логическая форма» см., например в [4], [5]). Именно форма оформляет, ограничивает содержание, превращая бесконечное в конечное.

Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь тезисов 2 и 3, которые вместе составляют положительный и отрицательный моменты феномена формализации: именно формализация позволяет «приручить» бесконечность (тезис 3), без этого с ней вообще невозможно работать, но за это приходится расплачиваться некоторыми «потерями» (ограничительные результаты логики, математики и физики). Осознание этой дилеммы и составляет собственно проблему бесконечного.

Неудивительно поэтому, что эту проблему (проблему бесконечного как проблему «приручения» бесконечности со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями) осознали в математике достаточно давно, начиная, видимо, с Н. Кузанского и В. Лейбница, которые считали, что сущность математики состоит в отражении в конечных символах идеи бесконечности (в отличие от Бога, который обладает этой идеей в непосредственной интуиции). Более современные математики различных философских ориентаций также сходны между собой в этом отношении:

Д. Гильберт «Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное (выделено мной — К.С.)» [6];

Г. Вейль «Величие математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного» [2];

Хао Ван «Чрезвычайно важной целью математической деятельностью является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом (выделено мной — К.С.)» [1].

Именно эти слова Хао Вана, вынесенные в эпиграф, и составляют главный тезис, обоснованию которого и посвящена данная статья.

Однако, прежде всего, необходимо ответить на одно принципиальное возражение, которое может быть сформулировано в виде вопроса: а зачем вообще необходима бесконечность в математике (логике); может быть необходимо изгнать бесконечность из математики? Заостренная формулировка этого возражения принадлежит Ю. Гуревичу (он, видимо, понимает термин «бесконечность» в узком смысле, т.е. как «счетную бесконечность» Г. Вейля [7]), который считает что развитие современной науки, ориентированной на взаимодействие человека с ЭВМ (появление комплекса наук computer science), должно учитывать принципиальную финитность ресурсов ЭВМ (объем памяти и мощность вычислительных средств), что предполагает разработку прежде всего финитных логических исчислений, как более приспособленных к области computer science.

Проведенный выше анализ проблемы бесконечного позволяет утверждать, что с методологической точки зрения данное противопоставление неверно, поскольку как финитные, так и нефинитные исчисления представляют собой формальные системы с присущими им обеим ограничениями (см. тезис 2 и 3). Речь может идти лишь о необходимости разработки новых методов работы с бесконечностью, поскольку развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем (наиболее принципиальной в данном случае является так называемая P — NP проблема [8]), связанных с созданием эффективных («быстрых») алгоритмов решения задач.