Таким образом, Онтология становится ante rem, становится исчислением имен, т.е. процессом, развитие которого определяется знаками "теории дедукции". В отличие от "раннего" Лесьневского, уповавшего на конвенции и эмпирические определения, применяемые то к подлежащему, то к сказуемому, в логическом периоде его творчества правила системы контролируют правую часть "единичных предложений", кодируемых обозначениями вроде 2defo(A), тогда как введение имен в левую часть регулируется исключительно универсальным квантором.

Другим "естественным" свойством "единичного предложения" является утверждение Онтологии:

II. л A a B Cый & (& (О {A a}О {B A}О {C A})О {B C})щ ,

которое Лесьневский [1930] снабжает следующим комментарием: "В момент, в который я уже в своей системе онтологии посредством дефиниции

л A Bый & (& (О {A B}О {B A})={A B})щ

ввел знак тождества (Identitatszeichen) "=", с которым легко доказуемо предложение (без апеллирования к директиве экстенсиональности)

л A B jый & (= {A B} & (j {A} j{B}))щ

я могу из предложения II вывести симметричное предложение

л A a B Cый & (& ( О {A a} О {B A} О {C A}) =B C})щ « (S.130).

С учетом предложенной выше трактовки функтора "есть" последнее утверждение может быть прочитано следующим образом: "если B и C переименовывают A, то они суть имена одного и того же объекта".

Свойство III показывает транзитивность О -отношения:

л A a Bый & (& (О {A a} О {B A}) О {B a})щ .

Свойство IV, являющееся ослаблением аксиомы Онтологии, очерчивает условия, которым должно удовлетворять имя "A", чтобы оно могло употребляться как имя a:

л A a bый & (& (О {B A} л B Сый & (& (О {B C} О {C A}) О {B C}щл Bый & (О {B A} О {B a}щ ) О {A a})щ

Таким образом, Онтология есть теория "единичных предложений" вида "О {A a}", т.е. "A есть а", но ни в коем случае предложения "A есть b", которое является предметом Прототетики.

В заключение абриса Онтологии приведем "усовершенствованную" аксиому, которой Б. Собоцинский, будучи студентом Варшавского университета, в 1929 г. придал следующий вид:

л A aый & (О {A a}& ( л Bы &й & (О {A B}О {B a}))щ )щ ;

в наиболее употребляемой нотации эта аксиома Онтологии выглядит так:

(" A, a)((AО a )є ($B)((AО B).(BО a))).

Легко видеть, что новшество Собоцинского состоит в том, что в правой части эквивалентности квантифицируется переменная для сказуемого "единичного предложения" "A О b", выполняющая роль транзита в последовательности < A ¬ B ¬ a > и исключающая тем самым необходимость введения термина в функции употребления.[20]


§ 6. ПРОТОТЕТИКА.


Прототетика, будучи одной из теорий системы оснований математики, появляется тогда, когда "единичное предложение существования" начинает именоваться, правда, под видом сокращений.[21] Лесьневский пишет, что выражение типа "А О b.= p" является сокращением предложения, которое он читает так: "О предмете A я скажу, что он есть b тогда и только тогда, когда p". ([1929 ] , S.63 ) Естественно, "p" является пропозициональной переменной, а сама Прототетика - пропозициональным исчислением, построенным, если можно так выразиться, в духе Мереологии и Онтологии, т.е. посредством номинации и эквивалентности предложений - процессов, которые скрупулезно контролируются правилами теории и в ходе которых порождается бесконечная иерархия категорий. Поэтому часто Прототетика очерчивается как обобщенное пропозициональное исчисление с кванторами, связывающими пропозициональные переменные, функторы от пропозициональных переменных, функторы от функторных переменных от пропозициональных переменных и т.д. Короче говоря, кванторы в утверждениях Прототетики связывают переменные семантических категорий: категории предложений и категорий, обозначаемых произвольными дробями, числители и знаменатели которых редуцируются к предложениям. Согласно требованиям Лесьневского аксиомы Прототетики должны записываться исключительно при помощи функтора эквивалентности, хотя потом оказалось, что Прототетику можно сформулировать также с использованием импликации. К сожалению, одна лишь эквивалентность еще не определяет прочие логические функторы пропозиционального исчисления. Поэтому важным шагом в деле построения Прототетики оказались результаты Тарского [1923], принимавшего в нем активное участие и показавшего, что при помощи эквивалентности и квантора всеобщности можно определить отрицание и конъюнкцию. Вместе с этим Тарский доказал, что при использовании кванторов, связывающих пропозициональные и функторные переменные , удается выразить принцип экстенсиональности:

[f,g]\ [p,q]:f(p,q).є . g(p,q): є :[j]:j {f}.є .j{g}

Однако Лесьневский считает, что пропозициональные функции "типа "j{f}", "j{f,q}", "j{f,q,h}" и т.д., по меньшей мере от одного аргумента, не являются предложениями для всех возможных значений их аргументов".