[4] Появление обоих логиков с философской родословной в среде математиков оказало на последних заметное влияние и было воспринято доброжелательно. Пути же самих логиков заметно отличались: если Лукасевич пришел к математической логике в контексте успеха своих лекций среди математиков, то обращение Лесьневского произошло в одиночестве, путем индивидуальных размышлений; если Лукасевич в своей работе не выходил за пределы признанной в то время парадигмы логики, то Лесьневский стремился создать собственную парадигму. Небезынтересно следующее сравнение обоих логиков, данное их учеником и сотрудником Собоцинским ([1957], S.42/43): "Между Лукасевичем и Лесьневским, двумя великими фигурами варшавской логической школы [...] имеется существенная разница. Лесьневский был также философом по образованию, и также отстранился от философии [...]. Однако в противовес Лукасевичу он считал, что можно найти "настоящую" систему логики и математики. Его систематизация основ математики не была исключительно постулативной; он стремился дать в дедуктивной форме наиболее общие законы построения действительности. По этой причине он мало использовал математические и логические теории, которые - даже тогда, когда они были непротиворечивы - он не считал подходящими для фундаментальных, структурных законов действительности. По этой же причине он концентрировал свои исследования на определенной системе, которую сам и построил, и на ее внутренних проблемах, ибо был уверен, что эта система единственная и настоящая. Таким образом, хотя в определенном смысле Лесьневский никогда не обращался к философии, он может быть признан философом логики, одним из величайших в этой малой группе [...]. У Лукасевича таких забот не было. Он не пробовал строить окончательную систему оснований дедуктивных наук. Его целью было [...] предоставление многим областям нашего мышления точных и элегантных структур [...]. Он интересовался прежде всего проблемами дедукции, ее совершенства и аксиоматизации [...], считая, что стоит исследовать каждую область, в которой может быть использована (значимо, или нет) дедукция".[5]

Первое изложение исчисления предложений в Польше также принадлежит Лукасевичу. В работе "Двузначная логика" [1920b] излагаемое исчисление представлено как нечто отличное от алгебры логики и совершенно отчетливо связано с уже устоявшейся парадигмой математической логики. Рассматриваемая Лукасевичем система сформулирована в языке, содержащем пропозициональные переменные (p,q,r,...), константы 0 (ложь) и 1 (истина), логические связки: ® (импликация), щ (отрицание), а также знаки : П (универсальный квантор), U (утверждение) и N (отбрасывание). Аксиомы имеют следующий вид:

U: Пp( 0 ® p);

U: Пp( p ® 1);

N: 1 ® 0.

Лукасевич вводит четыре дефиниции:

дефиниция отрицания - U: Пp(щ p=p ® 0);

дефиниция дизъюнкции - U: Пpq (pЪ q = (p ® q) ® q);

дефиниция конъюнкции - U: Пpq ((pЩ q) = щ (щ pЪщ q));

дефиниция эквивалентности - U: Пpq(p « q = (p ® q) Щ (q ® p)).

Утверждения получаются из аксиом и дефиниций при помощи следующих правил вывода:

1. Каждое выражение принадлежит исчислению, если оно возникает из утверждения, содержащего переменные и квантор, посредством подстановки 0 или 1 на место переменных.

2. Каждое выражение, эквивалентное некоторому выражению, принадлежащему системе, также принадлежит исчислению; каждое выражение можно отбросить, если оно эквивалентно отбрасываемому выражению.

3. Каждое выражение принадлежит исчислению, если оно в результате подстановки 1 вместо выражения исчисления, или 0 вместо выражения, не принадлежащего исчислению, переходит в утверждение; можно отбросить каждое выражение, которое в результате такой подстановки переходит в отбрасываемое выражение.

4. Каждое выражение, содержащее переменные и кванторы , в которое вместо переменных подставляются 1 и 0, принадлежит исчислению, если в результате такой подстановки получаются исключительно утверждения системы.

Эти правила вывода Лукасевич считал очевидными, исходя из свойств введенных символов, и полагал их обоснование достаточным. Свойства логических функторов эксплицировались при помощи записей, эквивалентных истинностнозначным таблицам; приводилась также табличная процедура проверки истинности утверждений. Затем Лукасевич из аксиом и дефиниций выводит 40 утверждений исчисления высказываний.

Табличный метод проверки истинности предложений не является результатом оригинальной идеи Лукасевича и был известен ранее, но в его работе едва ли не впервые этот способ проверки истинности обсужден систематически. Необходимо отметить трактовку истинностных значений в духе Фреге как денотатов предложений и введение наряду с правилами утверждения также правил отбрасывания, которые позже будут использованы при формализации логики Аристотеля и модальной логики. Дефиниция дизъюнкции сформулирована таким образом, что может быть использована и в трехзначной логике. Таким образом, в обсуждаемой работе содержаться идеи, которые позже будут развиты в трудах варшавской школы логики.