Так Собоцинский показал, что исчисление высказываний, содержащее формулы CpCqp и CpCqCCpCqrr, для каждого натурального n обладает аксиоматическим базисом, насчитывающим в точности n элементов, а Тарский обобщил это утверждение для произвольного пропозиционального исчисления. Вайсбергом доказано следующее утверждение: в исчислении высказываний (функционально полном или частичном), содержащим формулу CpCqCrp, аксиомы содержат как минимум три различные пропозициональные переменные. Несколько отступающим от лозунга школы является следующая находка Тарского, позволяющая определить функтор отрицания при помощи универсального квантора (Np=CpПp). Этот результат послужил основанием для конструкции расширенного исчисления высказываний (Лукасевич, Тарский [1930]).


Глава 2. Ян ЛукасевиЧ и неклассиЧеские логики.



§ 1. М ногозначные логики


Хорошо известно, неклассическая логика - это необязательно логика двух истинностных значений - истины и лжи; неклассичность определяется семантикой логических связок, или, если последнее понятие понимать шире - семантикой логических операторов. Внешним выражением сказанного как раз и является бесскобочная запись. По этой причине в настоящем параграфе будут обсуждены логические исчисления, относящиеся к неклассическим также и традиционно: многозначные логики, модальные логики, интуиционистское исчисление высказываний, а также упомянута дискуссионная логика Яськовского. Появление этих систем во Львовско-варшавской школе также неотделимо от имени Лукасевича. Ранее уже высказывалась мнение, обозначившее роль философа Лукасевича в логике и сводившееся к тому, что он был в логике метафизиком. В этой связи была затронута работа "Об индукции как инверсии дедукции", которая вместе с другими ранними работами при рассмотрении истоков многозначной логики, как правило, не учитывалась. Обычно считается, что первое упоминание о многозначной логике было сделано Лукасевичем 7 марта 1918 г. в прощальной лекции перед уходом на работу в Министерство вероисповеданий и публичного просвещения[23]. У этого сообщения имеется предыстория, отражающая эволюцию философа Лукасевича в направлении к логике, начало которой было положено рядом работ, сформировавших парадигму философии предложения этого исследователя. В кратком обзоре генезиса взглядов "раннего" Лукасевича мы коснемся некоторых из них.

Существовала да и существует до сих пор тенденция связывать индукцию с вероятностным подходом или, как его называли ранее, особенно логики, с правдоподобием. Вначале Лукасевич был сторонником т.н. инверсной теории дедукции, согласно которой индукция является рассуждением, в котором отыскивается логическое основание для единичных предложений опыта. Связь индуктивных и дедуктивных рассуждений он обобщил, следуя Твардовскому, в понятии рассуждения как процесса. Лукасевич [1912],[1915] различает основание и следствие, которые не соответствуют паре посылка-заключение, и в связи с этим вводит направление рассуждения. Если посылка является основанием, а заключение - следствием, то речь идет о дедуктивном рассуждении, а если посылка есть следствие, а заключение - основание, то речь идет о рассуждении-редукции, или говоря иначе, дедукция является нахождением следствия по данному основанию, а редукция - основания для данного следствия. Дедукция является надежным, безошибочным рассуждением, тогда как редукция - всего лишь правдоподобным. Но в [1909] Лукасевич, анализируя формулу Лапласа p=n+1/n+2, по которой определяется правдоподобие того, что n+1 событие обладает свойством, которое проявилось в n событиях, формулирует аргумент, ставивший под сомнение осмысленность приписывания индуктивным заключениям меры правдоподобия. Формула Лапласа касается единичного события, тогда как в индуктивном заключении речь идет о правдоподобии генерализации. Можно воспользоваться т.н. обобщенной формулой Лапласа p=n+1/n+m+1, где m - это число событий, охваченных генерализацией, а n - базис индукции (число наблюдаемых событий). Поскольку m много больше n, то p не может быть больше 1/2, а если m стремится к бесконечности, то p - к нулю.[24] Поэтому Лукасевич в работе "Логические основания исчисления правдоподобия"[1913] старается выяснить, почему понятие правдоподобия не относится к предложениям (суждениям). Он считает, что меру правдоподобия можно приписывать пропозициональным функциям в виде отношения числа аргументов, для которых она истинна, к конечному числу всех значений переменной. Предложения, т.е. формулы без свободных переменных бывают или истинными, или ложными и понятие правдоподобия к ним не относится вообще.

Таким образом, если истинностную оценку считать именем предложения в косвенном употреблении, то, очевидно, отождествить ее с ситуацией невозможно. Поэтому Лукасевич оставляет индукцию как опосредующий метод, предваряющий дедукцию и обращается непосредственно к ревизии рассуждения как понятию, охватывающему и индукцию, и дедукцию. Эта ревизия состояла в высказывании сомнения относительно универсальности двух важнейших законов: принципа исключенного третьего и принципа противоречия.