[30]

Возвращаясь к "семантике" трехзначной логики, т.е. к проблеме детерминизма отметим, что Лукасевич полагал, будто из принципа двузначности следует принцип детерминизма, но не наоборот, и подобное же соотношение имеет место между принципом трехзначности и принципом индетерминизма, причем под индетерминизмом Лукасевич понимал взгляд, согласно которому в будущем относительно момента t могут возникнуть события, не предрешенные в момент t. Предрешить же значение самой "неаристотелевской логики" Лукасевич не берется, констатируя единственно значение теоретическое, т.е. как удавшуюся ревизию теоретического метода рассуждения. А поскольку семантика такой логики не была прояснена, то и практическое ее значение остается невыясненным, но имеющим для Лукасевича несомненную ценность. Он пишет: "Будет ли и какое практическое значение иметь новая система логики - это выяснится лишь тогда, когда в свете новых логических законов окажутся проведенные подробные исследования логических явлений, особенно имеющих место в дедуктивных науках и когда можно будет сравнить с опытом следствия индетерминистского взгляда на мир, являющегося метафизическим основанием новой логики".([1920] ,S.131)

В 1922 г. Лукасевич обобщил трехзначное исчисление высказываний до логики, имеющей произвольное конечное число истинностных оценок. Значение импликации и отрицания определялось в нем следующими соотношениями: Cpq=1, для pЈ q, Cpq=1-p+q, для p> q, Np=1- p, где 0< p, q2) содержится в L2, т.е. все тавтологии всех Ln строго включаются в L2. Для Ln и Lm (n

До сих пор речь шла о матричной конструкции многозначной логик. Естественно, в Школе попытались эти исчисления аксиоматизировать. Вайсберг [1931] доказал, что L3 аксиоматизируется следующими формулами: CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCNpNqCqp, CCCpNppp; правилами вывода являются подстановка и отделение. Тот же автор высказал гипотезу (Лукасевич, Тарский[1930]), которую позже и доказал [1935], что каждое конечнозначное исчисление Ln аксиоматизируемо, если оно содержит следующие формулы: CCpqCCqrCpr, CCqrCCpqCpr, CCqrCpp, CCpqCNqNp, CNqCCpqNp. Лукасевич высказал гипотезу, что Lx аксиоматизируется выражениями CpCqp, CCpqCCqrCpr, CCCpqqCCqpp, CCCpqCqpCqp, CCNpNqCpq.[31]

Все приведенные аксиоматики оказались неполны в том смысле, что первичных терминов C и N оказалось недостаточно, чтобы определить все функторы многозначного исчисления высказываний, причем для каждого Ln (n>2). Дело в том, что число функций стремительно растет с ростом n и, например, для n=3 число одноаргументных функций равно 27, а функций от двух аргументов - 19683. Слупецкий [1936] решил проблему функциональной полноты для L3. Он определил одноаргументный функтор T такой, что Tx = 1/2 для произвольного x О {0, 1/2, 1}. Функторы C, N, T определяют все функторы исчисления L3. Чтобы получить аксиоматику L3 нужно к приведенным выше аксиомам Вайсберга добавить формулы CTpNTp, CNTpTp.

Все исчисления Ln (n> 1) непротиворечивы. Сложнее обстоит дело с полнотой. Полноту L3 доказал Слупецкий [1939],[1946]. В связи с исследованиями функции T и вопросом полноты (каждая тавтология принадлежит системе) Слупецкий [1939a] сформулировал простой критерий функциональной полноты для произвольного Ln: многозначное исчисление высказываний функционально полно, если первичные термины этой системы позволяют определить каждый одноаргументный функтор, и когда по меньшей мере один из первичных терминов этого исчисления, являющийся функтором двух аргументов, определяется истинностнозначной матрицей со следующими свойствами: а) не все строки внутренней части таблицы идентичны, б) не являются идентичными все столбцы таблицы, в) во внутренней части таблицы должны находиться все значения, которые могут принять аргументы функторов этого исчисления. Приведенные требования носят название критерия Слупецкого.[32] Обсуждаемые выше исчисления были системами с одним выделенным значением. Собоцинский [1936] исследовал исчисления с двумя выделенными значениями, а Слупецкий [1939] - с k

В 30-е годы Лукасевич [1930] оценивал изобретение многозначных логик так: "Я сразу осознал, что среди всех многозначных систем только две могут претендовать на философскую значимость: трехзначная система и система бесконечнозначная. [...] Считаю, что именно этой последней системе принадлежит первенство среди прочих".(S.159) И далее: "Все же мне кажется, что философское значение представленных здесь систем логики может быть по меньшей мере так же велико, как и значение неэвклидовых систем геометрии".(S.161) Позже, в [1953] Лукасевич изменил свой взгляд на философскую значимость трех- и бесконечнозначной систем логики. Предлагал также Лукасевич, чтобы многозначные системы исчисления высказываний и предикатов послужили основанием для исследований в арифметике и теории множеств.