(S.295) Эти рассуждения показывают, что Лукасевич понимал возможность экстенсионально, тогда как в системах Льюиса функторы L и M интенсиональны.

В варшавской логической школе исследовались также системы Льюиса. Вайсберг [1933] построил семантику для системы S5 и доказал полноту этой системы, и это было первое доказательство полноты для систем льюисовского типа. Собоцинский [1953] доказал эквивалентность модальной системы Фейса и системы M фон Вригта, а также модификации M` и M`` этой последней с системами S4 и S5; тем самым Собоцинский показал, что M, S4 и S5 являются разными системами модальной логики. Вместе с тем Собоцинский доказал, что в системе Фейса, названной T, существует бесконечно много модальностей.


§ 3. Интуиционисткая логика. Дискуссионная логика Ст.Яськовского.[36]


Первым польским логиком, занявшимся интуиционистской логикой был Яськовский [1934]. Он представил интуиционистское исчисление, аксиоматизированное Колмогоровым, в виде натурального вывода, а также заметил, что одна из аксиом А.Гейтинга независима от аксиом Колмогорова. В варшавской школе было разработано несколько аксиоматик, эквивалентных аксиомам Гейтинга. Вот некоторые из них, приводимые в книге Я.Воленского "Львовско-варшавская философская школа" [1985]:

Яськовский [1934]: CCpCqrCCpqCpr, CpCqp, CpCqKpq, CKpqp, CKpqq, CKCprCqrCApqr, CpApq, CqApq, CNpCpq, CCpNpNp;

Вайсберг [1937]: CpCqp, CCpCqrCCpqCpr, CKpqp, CKpqq, CCpqCCprCpKqr, CpApq, CpAqp, CCprCCqrCApqr, CEpqCpq, CEpqCqp, CNpCpq, CCpNpNp ;

Тарский [1938]: CxCyx, CCxCyzCCxzCyz, CxAxy, CyAxy, CCxzCCyzCAxyz, CKxyz, CKxyy, CCzxCCxyCzKxy, CNxCxy, CCNxxx, CCxNxNx ;

Лукасевич [1941]: CpCqp, CCpCpqCpq, CCpqCCqrCpr, CKpqp, CKpqq, CCpqCCprCpKqr, CpApq, CqApq, CCprCCqrCApqr, CCpNqCqNp, CNpCpq .

Вайсберг [1938] доказал т.н. утверждение о сепарации. Достаточно заметить, что аксиоматику Вайсберга (как и прочие) можно разделить на группы: две первые аксиомы содержат только знак импликации, следующие три - импликации и конъюнкции, шестая, седьмая и восьмая - импликации и дизъюнкции, девятая, десятая и одиннадцатая - импликации и эквивалентности, а последние две - импликации и отрицания. В утверждении о сепарации говорится, что каждое следствие, полученное из интуиционистского исчисления высказываний, выводится из тех аксиом, которые кроме импликации содержат исключительно функторы, входящие в данное следствие.

Тарский [1938] привел топологическую интерпретацию интуиционистской логики, а также показал [1934],[1935], что классическое исчисление высказываний является единственным непротиворечивым и полным расширением интуиционистского исчисления предложений. С последним утверждением связаны результаты Лукасевича [1941],[1952] о соотношении классического и интуиционистского исчисления высказываний. В [1941] Лукасевич пишет, что классическое исчисление сильнее интуиционистского, поскольку второе можно получить из первого путем вычеркивания одной аксиомы. Но в [1952] Лукасевич доказывает утверждение, что интуиционистское исчисление предложений содержит классическое исчисление высказываний как свою собственную часть. Он пишет: "[...] в 1938 г. я выразил взгляд, что интуиционистское исчисление предложений является только частью классического исчисления высказываний и поэтому [оно] существенно слабее, чем последнее. Сегодня я вижу, что все совершенно наоборот. Интуиционистское исчисление богаче, а значит сильнее, чем классическое. Все применения классического исчисления высказываний в математике используются также и в интуиционистском исчислении, но кроме того, в интуиционистском исчислении можно рассматривать много тонких проблем, которые не удается сформулировать в классической системе. Мне кажется, что среди известных до сих пор многозначных систем логики интуиционистское исчисление является наиболее интуитивным и элегантным" ([1952], S.267).

Сегодня известно, что классическое исчисление высказываний не может быть погружено в интуиционистское, а поэтому результат Лукасевича, учитывая также упомянутое утверждение Тарского о соотношении этих исчислений может, показаться парадоксом. Воленский [1985] дает следующее интересное объяснение сложившемуся положению: "Этот парадокс тотчас выясняется, если мы учтем, что Лукасевич пользуется не "обычным" интуиционистским исчислением предложений, но интуиционистским исчислением предложений с переменными функторами. Но и при этом предупреждении результат Лукасевича интересен с философской точки зрения, поскольку ставит вопрос: Какая система исчисления высказываний адекватно "представляет" классическую логику? Кажется, таким представлением является классическое исчисление высказываний с переменными функторами или же прототетика Лесьневского, т.е. такая система, в которой удается формализовать принцип двузначности. В свете этого комментария взгляд Лукасевича, что "все применения классического исчисления высказываний в математике используются также и в интуиционистским исчислении", кажется, все еще дискуссионным". (S.130)

Формулирование дискуссионной логики Яськовского [1948] лежит в русле той же традиции, что и первая система трехзначной логики Лукасевича, т.