В частности, Лукасевич показал, что аксиому CApAqrAqApr можно вывести из аксиом CAppp, CqApq, CApqAqp и CCqrCApqApr (Principia), а аксиому CCpCpqCpq - из аксиом CpCqp, CCpCqrCqCpr, CCqrCCpqCpr, CpCNpq, CCpqCCNpqq (Гильберт).[21] Позже Лукасевич [1929],[1934] показал, что и аксиомы Фреге также не являются независимыми. Систематическое изложение результатов дано в курсе лекций Лукасевича [1929]. Годом позже в сообщении Лукасевича и Тарского "Исследования исчисления высказываний" [1930] подведены итоги работы семинара, в котором, начиная с 1926 г. получили результаты авторы статьи, а также Вайсберг, Собоцинский и Линденбаум.

Для доказательства независимости аксиом исчисления высказываний Лукасевич применил многозначную матрицу, идея которой принадлежит Тарскому. Этот метод очевидным образом соотносится с развернувшимися в Варшаве исследованиями многозначных логик, приведших к созданию логических матриц, отличных от двузначных.[22] Лукасевич [1929] и Вайсберг [1937] разработали также оригинальные методы доказательства полноты исчисления высказываний в смысле Поста.

Остановимся подробнее на неоднократно упоминаемом "сообщении" Лукасевича и Тарского, центральным понятием которого является множество S всех предложений данного исчисления высказываний и понятие логической матрицы. Множество S определяется как пересечение всех множеств, содержащих пропозициональные переменные и замкнутое относительно операций образования составных предложений. В случае импликативно-негативного исчисления - это операции импликации и отрицания. Если X содержится в S, то Cn(X) - это множество следствий множества X, являющееся пересечением всех множеств, содержащих X и замкнутых относительно правил, определяющих операции в Cn; в случае исчисления высказываний это правила операций подстановки и отделения. В этой конструкции впервые для определения металогических понятий (множества предложений, следствия) использована конструкция наименьшего множества, замкнутого относительно определенных в нем операций.

Другим важным понятием сообщения является понятие логической матрицы, определяемое как упорядоченная четверка M=, где A и B - дизъюнктные множества произвольных элементов, f -двух-, а g - одноаргументные функции, определенные для всех элементов множества A+B и принимающие значения из него. M является нормальной матрицей, если из того, что xО B и yО A следует, что f(x,y) О A. Функция h называется функцией оценки матрицы M, если выполняются следующие условия:

1) функция h определена для каждого xО S;

2) если x есть пропозициональная переменная, то h(x)О A+B;

3) если x,yО S, то h(c(x,y))=f(h(x),h(y));

4) если xО S, то h(n(x))=g(h(x). Предложение x удовлетворяет матрице M, если для каждого значения функции h этой матрицы имеет место h(x)О B, а элементы множества B называются выделенными.

Рассмотрим матрицу M=, где функции f и g определены следующим образом: f(x,y)=1, когда x=0, y=1, или x=1, y=1, или x=0, y=0 и f(x,y)=0, когда x=1, y=0, а g(x)=1, когда x=0, g(x)=0, когда x=1. Множества {0} и {1} дизьюнктны, а 1 является выделенным значением. Функции f и g определены на истинностных значениях. Легко видеть, что существует функция оценки h, согласованная с таблицами истинности для импликации и отрицания; символы c и n при определении функции h являются метаязыковыми именами C и N. Матрица M, очевидно, является нормальной матрицей. Таким образом, установлено соответствие между алгеброй истинностных оценок и алгеброй предложений. Более того, поскольку элементы множества A и B могут быть произвольной природы, то Линденбаум предложил таковыми считать предложения и матрица в этом случае становится алгеброй Линденбаума. Очевидно, что произвольное предложение исчисления высказываний удовлетворяет матрице, т.е. такое предложение оценивается как истинное. Тем самым можно отождествить множество истинностных предложений с предложениями, выполняемыми на матрице. Обозначим это множество E(M).

Далее, в сообщении приводится два важных утверждения, устанавливающие зависимость между предложениями исчисления и содержанием матрицы. Утверждение 1. Если M является нормальной матрицей, то E(M) - дедуктивная система, т.е. система, содержащая свои следствия. Утверждение 2. Если X - дедуктивная система, то существует нормальная матрица M, для которой множество A+B конечно, перечислимо и выполняется соотношение E(M)=X. Эти утверждения, особенно второе, оказались весьма важными, ибо матрица попросту определяет негативно-импликативное исчисление высказываний, а из этой дефиниции легко можно показать, что исчисление высказываний непротиворечиво и полно.

Дальнейшее обсуждение сообщения Лукасевича и Тарского будет продолжено в следующем параграфе, т.к. касается логик неклассических. Здесь же, в завершение, упомянем интересные металогические результаты действительно демонстрирующие реализацию лозунга "логика для логики".