В этих обозначениях аксиомы логической теории присоединения следствий таковы: (1) S ЈАo , (2) XН Cn(X), (3) Cn(Cn(X))=Cn(X), (4) Cn(X)=$YCn(Y), где Y является конечным подмножеством множества X, (5) $ xCn(x) = S, (6) если x и y принадлежат S, то nx и cxy также принадлежат S, (7) если cxy О Cn(X), то y О Cn(X)+{x}, (8) если y О Cn(X)+{x}, то cxy О Cn(X), (9) Cn{x,nx}=S, (10) Cn{x}Ч Cn{nx}=Cn0.

Первые пять аксиом - это т.н. общие аксиомы, составляющие первую группу, не учитывающие конкретное исчисление. Аксиома (1) утверждает, что множество S содержит не более, чем перечислимое число предложений, (2) - что каждое множество содержится в множестве своих следствий, (3) - что операция присоединения следствий идемпотентна, (4) - что операция Cn конечна, т.е. если что-либо удается вывести из множества X, то это же удается вывести из его конечного подмножества, (5) - что существует предложение, следствия которого составляют весь язык S. Аксиомы (6)-(10) относятся к дедуктивным системам, использующим двузначную логику. Аксиома (6) говорит о том, что Cn как раз выражает такую логику в импликативно-негативном представлении, (7) - это правило отделения, (8) - теорема дедукции, сформулированная, как информирует Тарский ([1956], S.32) в 1921 г. в связи с дискуссией, вызванной книжкой Айдукевича,[2] в (9) утверждается, что следствие пары взаимно противоречивых предложений есть множество S и в (10) - что пересечение множества следствий предложения x и множества следствий предложения nx равняется множеству следствий, полученных из пустого множества. Из аксиом (1)-(5) следует, что если X Н Y, то Cn(X) Н Cn(Y) (монотонность операции присоединения следствий), а также Cn(X+Y) = Cn(Cn(X)+Cn(Y)). Множество логических следствий множества X интуитивно понимается как множество доказуемых предложений, выведенных из множества X при помощи принятых правил вывода. Далее Тарский приводит точные определения метаматематических понятий, используемых до тех пор интуитивно: понятия непротиворечивости, полноты, аксиоматизируемости, конечной аксиоматизируемости, независимости; все эти понятия определены для произвольного множества предложений.

Понятие дедуктивной системы является весьма важным понятием, позволяющим определить собственно логику как частный случай такой системы. Так множество предложений X будет дедуктивной системой тогда и только тогда, когда Cn(X)=X. Поскольку Тарским доказывается, что для каждого множества предложений X существует множество Y, содержащее X и такое, что Y=Cn(X), то легко заключить, что Cn(0) является наименьшей дедуктивной системой и представляет собой теоретико-множественное пересечение всех дедуктивных систем. Вполне естественным будет считать Cn(0) логикой.

Активное участие в исследовании дедуктивных систем принимал Линденбаум. Тарский [1930a] приводит несколько важных результатов, касающихся таких систем. Так оказывается, что число всех дедуктивных систем составляет неперечислимое множество, а число всех аксиоматизируемых систем перечислимо. Вместе с тем ни одну систему не удается представить в виде конечной суммы отличных друг от друга систем, а каждое непротиворечивое множество предложений можно расширить до непротиворечивого и полного множества предложений. Правда, утверждение Линденбаума неэффективно, поскольку оно не предоставляет конкретного метода для получения конструкции расширения, а поэтому может служить примером использования таких методов в варшавской логической школе и их отличия от гильбертовской программы построения метаматематики.

Для Тарского свойство эффективности построения формул сохранялось implicite в начальном периоде построения матаматематики тем, что он разделял концепцию радикального номинализма Лесьневского. Но уже в [1930a] он замечает, что в аксиоме (6) предложения не удается трактовать как конкретные материальные объекты и приходится использовать не понятие инскрипции, например, "x", а понятие типа-инскрипции как класса записей эквиморфных "x". Тем самым в метаматематику был введен абстрактный предмет - тип выражения.

В работах [1935],[1936] Тарским предложена иная версия метаматематики в форме т.н. исчисления систем. В исчислении систем первичными терминами являются: множество предложений логики L, множество всех предложений S, отрицание n, импликация c. Аксиоматику исчисления систем составляют следующие утверждения: (1) 0 < S ЈАo , (2) если x,yО S, то nx, cxyО S, (3) L Н S, (4) ccxyccyzcxz, ccnxxx, cxcnxy О L (принадлежность стандартного исчисления L2 к L), (5) если x, cxy О L, то yО L. Если X является множеством предложений, то Cn(X) может быть определено как наименьшее множество, содержащее множества L и X и замкнутое относительно правила (операции) отделения. Из аксиом исчисления систем (1)-(5) и определения отношения следования Тарский выводит аксиомы общей теории следования, а также принимает равенство L = Cn(0).