Различие же, присущее числам как определенным количествам, есть внешнее тождество и внешнее различие, равенство и неравенство, которые суть рефлективные моменты и которые следует рассматривать среди определенной сущности там, где трактуется о различии.

Далее, нужно предварительно отметить, что числа могут в общем быть произведены двояко - либо сочетанием, либо разъединением уже сочетанных; поскольку этот двоякий способ имеет место при одинаково определенном виде счета, то сочетанию чисел (это можно назвать положительным арифметическим действием) соответствует разъединение их (это можно назвать отрицательным арифметическим действием), причем само определение действия независимо от этой противоположности.

После этих замечаний укажем виды исчисления. 1. Первое порождение числа - это сочетание "многих", как таковых, т. е. "многих", каждое из которых положено лишь как "одно", - нумерование. Так как "одни" внешни друг другу, то они представляются в чувственном образе, и действие, посредством которого порождается число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., это может быть лишь показано. Остановка в счете, будет ли сочетано то или иное количество ["одних"], есть нечто случайное, произвольное, так как граница внешняя. - Различие между численностью и единицей, возникающее в дальнейшем развитии арифметических действий, служит основой системы чисел-двоичной, десятеричной и т. д.; такая система покоится в общем на произвольном выборе той численности, которая постоянно должна снова и снова быть взята как единица.

Возникшие посредством нумерования числа снова подвергаются нумерованию; поскольку они положены столь непосредственно, они еще определены без всякого соотношения друг с другом, безразличны к равенству и неравенству, их величины по отношению друг к другу случайны; они поэтому вообще неравны; это - сложение. - Что 7 и 5 составляют 12, это узнают тем, что к 7 прибавляют на пальцах или как-нибудь иначе еще 5 "одних"; результат этого действия сохраняют затем в памяти, помнят наизусть (auswendig), ибо при этом нет ничего внутреннего (Innerliches). И точно так же узнают посредством счета на пальцах и т. д., что 7х5 = 35, что к одной семерке прибавляется еще одна семерка, повторяют это пять раз, и результат также запоминается наизусть. От этого труда - считать, находить суммы, умножать - навсегда избавила готовая таблица сложения или умножения, которую нужно лишь заучить наизусть.

Кант рассматривает (во Введении к "Критике чистого разума", раздел V) положение 7+5-12 как синтетическое положение. "На первый взгляд, - говорит он, - может показаться (конечно!), что это положение 7+5-12 чисто аналитическое, вытекающее по закону противоречия из понятия суммы семи и пяти" Понятие суммы не означает ничего, кроме абстрактного определения, что эти два числа должны быть сочетаны и притом как числа внешним, т. е. чуждым понятия образом, что начиная с 7 следует продолжать считать до тех пор, пока не будут исчерпаны долженствующие быть прибавленными "одни", численность которых определена числом 5; полученный результат носит уже заранее известное название двенадцати. "Однако, - продолжает Кант, - присматриваясь ближе, мы находим, что понятие суммы 7 и 5 содержит в себе только соединение этих двух чисел в одно и от этого вовсе не мыслится, каково то число, которое охватывает оба слагаемых". "Сколько бы я ни расчленял свое понятие такой возможной суммы, я не найду в нем числа 12". При переходе от указаний задачи к результату сумма действительно не мыслится, понятие не расчленяется. "Необходимо выйти за пределы этих понятий, прибегая к помощи созерцания, пяти пальцев и т. д. и таким образом присоединять единицы числа пять, данного в созерцании, к понятию семи" а0, - прибавляет он. Пять действительно дано в созерцании, т. е. оно совершенно внешняя сочетанность произвольно повторявшейся мысли, "одного"; но 7 точно так же не понятие; здесь нет понятий, за пределы которых нужно было бы выходить. Сумма 7 и 5 означает чужцое понятия соединение этих двух чисел; такое столь чуждое понятия нумерование, продолжающееся от 7 до тех пор, пока не будут исчерпаны пять единиц, можно назвать сочетанием, синтезированием с таким же правом, как и нумерование, начинающее с "одного", - синтезированием, которое, однако, носит совершенно аналитический характер, так как связь здесь всецело искусственная, в ней нет и в нее не входит ничего такого, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 и 5 относится к требованию вообще нумеровать, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.

Столь же бессодержательно, как выражение "синтезирование", и определение, что это синтезирование совершается a priori. Правда, счет не есть определение ощущений, единственно которое, согласно кантовскому определению созерцания, и остается на долю a posteriori, и счет действительно есть занятие на почве абстрактного созерцания, т.