е. счетом на пальцах и т. д.; позднее становится возможным непосредственно указать произведение благодаря своду результатов подсчета - таблице умножения и знанию ее наизусть.

Деление есть отрицательное арифметическое действие, согласно тому же определению различия. Здесь также безразлично, делитель ли или частное принимается за единицу или за численность. Делитель принимается за единицу, а частное - за численность, коща задачей деления объявляется желание узнать, сколько раз (численность) одно число (единица) содержится в данном числе; наоборот, делитель принимается за численность, а частное - за единицу, коща говорят, что требуется разделить некоторое число на данную численность одинаковых частей и найти величину такой части (единицы).

3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и численность, как числа еще непосредственны относительно друг друга и потому вообще не равны. Дальнейшее равенство - это равенство самой единицы и численности; таким образом, продвижение к равенству определений, заключающихся в определении числа, завершено. Счет согласно этому полному равенству есть возведение в степень (отрицательное арифметическое действие [здесь ] - извлечение корня) и прежде всего возведение числа в квадрат; это полная определенность нумерования внутри самого себя, где 1) прибавляющиеся многие числа суть одни и те же, и 2) само их множество или численность тождественно тому числу, которое берется многократно и служит единицей. Нет никаких иных определений в понятии числа, которые могли бы быть некоторым различием, и не может также иметь место какое-либо дальнейшее выравнивание различия, заключающегося в числе. Возведение в степени высшие, чем в квадрат, есть формальное продолжение; с одной стороны, при четных показателях, оно есть лишь повторение возведения в квадрат, а с другой - при нечетных показателях - вновь возникает неравенство, а именно при формальном равенстве (например, прежде всего в кубе) нового множителя и численности, и единице, он как единица есть нечто неравное по отношению к численности (по отношению ко второй степени, 3-по отношению к 3х3); еще большее неравенство имеется при кубической степени четырех, где численность 3, показывающая, сколько раз число, служащее единицей, должно быть помножено само на себя, отлична от этого числа. - Эти определения имеются в себе как сущностное различие понятия, - численность и единица, и для того чтобы выхождение-вовне-себя целиком оказалось возвра-щением-внутрь-себя, они должны быть выравнены. В только что изложенном заключается, далее, основание, почему, с одной стороны, решение уравнений высших степеней должно состоять в приведении их к квадратным уравнениям, и почему, с другой стороны, уравнения нечетных степеней могут быть определены лишь формально, и как раз, когда корни рациональны, они могут быть найдены не иначе как при помощи мнимого выражения, противоположного корням и тому, чтб они выражают. - Согласно сказанному, только арифметический квадрат содержит в себе безусловную определенность (Schlechthin-Bestimintsein), вследствие чего уравнения дальнейших формальных степеней должны быть приведены к нему; точно так же как в геометрии прямоугольный треугольник содержит безусловную внутри-себя-опре-деленность, выраженную в Пифагоровой теореме, и поэтому для полного определения всех прочих геометрических фигур они должны быть сведены к нему.

В преподавании, продвигающемся согласно логически построенному суждению, изложение учения о степенях предшествует изложению учения о пропорциях; последние, правда, примыкают к различию между единицей и численностью, составляющему определение второго арифметического действия, однако они выходят за пределы "одного" как непосредственного определенного количества, в котором единица и численность суть лишь моменты;

дальнейшее определение по этим моментам остается для него самого также еще внешним. В отношении число уже не есть непосредственное определенное количество; последнее имеет в этом случае свою определенность как опосредствование; количественное " отношение мы рассмотрим далее.

Об указанном выше дальнейшем определении арифметических действий можно сказать, что оно не есть философствование о них, не есть, скажем, разъяснение их внутреннего значения, потому что оно действительно не имманентное развитие понятия. Философия же должна уметь различать то, чтб по своей природе есть внешний самому себе материал, [должна знать], что в таком материале развитие понятия может происходить лишь внешним образом и что моменты этого развития могут существовать лишь в присущей им форме внешности, каковы здесь равенство и неравенство. Различение сфер, к которым принадлежит та или другая определенная форма понятия, т. е. имеющаяся как существование, есть важное условие философствования о реальных предметах, необходимое для того, чтобы мы, оперируя идеями, не нарушали особенности внешнего и случайного и чтобы мы не искажали этих идей и не делали их формальными из-за неадекватности материала. Но внешний характер, при котором выявляются моменты понятия в указанном выше внешнем материале - в числе, есть здесь адекватная форма; так как они представляют нам предмет в рассудочном понимании его, а также ввиду того, что они не требуют никакого спекулятивного подхода и потому кажутся легкими, их стоит применять в элементарных учебниках.