Он хочет это обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если 2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго, третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и по обычной арифметике п х 0 ° 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.

Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды] переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества, и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом. Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны, низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных величин.

Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти затруднения.

Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия (Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть строгости доказательств древних.

Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. - Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а именно отношения производной функции к первоначальной.

Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма, Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики, равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени, только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать, единственный интерес.