В нем дается критика учения платоников о неделимых линиях. Среди платоников это учение разрабатывал прежде всего Ксенократ, хотя, как сообщает Аристотель, оно уже было и у Платона.

Но автор трактата о неделимых линиях исходит из представления о том, что последние представляют собой "мельчайшие" в пространственном (а не логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком понимании неделимых линий действительно возникает целый ряд противоречий и неувязок, которые автор и перечисляет.

Если допустить эти "линии-атомы", то: "1... все линии (отрезки) были бы... соизмеримыми (sЏmmetroi). Ибо все они были бы измеримыми при помощи атомов (-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые соизмеримы (только) в квадрате... 2. Далее, раз из трех данных прямых образуется треугольник, то треугольник можно составить также из трех линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная из вершины) проходит через середину (основания), а следовательно, и через середину атомов (-линий)... 3. Далее, присоединение одной линии к другой не могло бы увеличить всей линии. Ибо неделимые линии, взятые в совокупности, не образуют ничего большего..." Мы не будем перечислять остальные аргументы, так как характер критики уже понятен.

Приведенные два первых аргумента неизвестного автора почти полностью повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неделимых физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такого рода "последних неделимых" противоречило бы самым очевидным положениям математики, ибо тогда, во-первых, все отрезки были бы соизмеримы (они имели бы атом в качестве наименьшей меры), а во-вторых, невозможно было бы поделить точно пополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда надо было бы разделить атом). Что касается третьего аргумента, то он приводился уже у Зенона и неоднократно воспроизводился у Аристотеля: если атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его атомы - не математические точки, а минимальные величины - тела).

Однако при этом интересно отметить одно обстоятельство. Аристотель, неоднократно отмечавший, что допущение атомизма Демокрита не может согласоваться с математикой, ибо математика исходит из непрерывного континуума, в то же время нигде не приводит того же аргумента против Платона и его учеников. Хотя если бы он понимал математические "неделимые" так же, как автор цитированного трактата, то должен был обрушиться на них еще резче, чем на Демокрита. Тем более что по другим аспектам обоснования математики Аристотель постоянно полемизирует с платониками. Не потому ли он не указывал на несостоятельность учения о математических неделимых, что был лучше осведомлен о том, как трактовали их платоники?

Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических объектов - точки, линии, треугольника, пирамиды - оказало большое влияние на дальнейшее развитие математики как в эпоху эллинизма, так и в средние века и особенно в эпоху Возрождения.

В связи с проблемой математических неделимых встает еще один, может быть, наиболее трудный вопрос. Мы уже знаем, что "разделить" математический объект, например плоскость, - это значит получить математический объект другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разделенной", она превращается в линию, т.е. в одномерное образование. Но что же это за способ деления? Как видим, он совсем не похож на обычное представление о делении как расчленении тела на части: в результате деления мы здесь как бы совершаем прыжок в другой мир, ибо переход от измерения к измерению непонятен ни с точки зрения логики, ни с точки зрения "мнения", т.е. обычного представления о делении объекта.

Та же неясность возникает и при действии "умножения", т.е. при переходе от одномерного к двухмерному образованию, а от него - к трехмерному. Выше мы видели, что, с точки зрения платоника Прокла, "переход" от точки к линии и от линии к плоскости можно как бы созерцать в воображении: движение точки в интеллигибельной материи, пространстве, дает в результате линию; линия - это как бы след движущейся точки в пространстве, след, удерживаемый воображением. Но созерцание движения точки, линии или плоскости - это еще не логическое объяснение перехода от объекта одного измерения к объекту двух или трех измерений. Возможно ли логическое объяснение такого перехода, можно ли постигнуть его в понятии?

Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к диалогу Платона "Парменид". При анализе этого диалога мы сознательно опустили одно из рассуждений, одну из "гипотез" Платона, которая как раз теперь, может быть, прольет некоторый свет на интересующий нас вопрос. В этом рассуждении Платон рассматривает проблему приобщения единого к бытию: каким образом может происходить такое приобщение? Такая проблема возникла для Платона после того, как он пришел к заключению, что если единое существует, то оно есть многое. Т