Но особенностью древнеегипетской и вавилонской математики было отсутствие в ней (за исключением отдельных элементов) единой системы доказательств, которая впервые появляется именно у греков. "Большое различие между греческой и древневосточной наукой, - пишет венгерский историк науки Арпад Сабо, - состоит именно в том, что греческая математика представляет собой систему знаний, искусно построенную с помощью дедуктивного метода, в то время как древневосточные тексты математического содержания содержат только интересные инструкции, так сказать, рецепты и зачастую примеры того, как надо решать определенную задачу". Древневосточная математика представляет собой совокупность определенных правил вычисления; то обстоятельство, что древние египтяне и вавилоняне могли осуществлять весьма сложные вычислительные операции, ничего не меняет в общем характере их математики.

Эти особенности древневосточной математики объясняются тем, что она носила практически-прикладной характер; с помощью арифметики египетские писцы решали задачи "о расчете заработной платы, о хлебе или пиве и т.д.", а с помощью геометрии вычисляли площади или объемы. "...В обоих случаях вычислитель должен был знать правила, по которым следовало производить вычисление. Но что касается систематического вывода правил для этих расчетов, то о них нет речи, да и не может идти, ибо часто (как, например, при определении площади круга) употребляются только приближенные формулы".

Поскольку древневосточная математика носила практический характер, она не проводила существенного различия между вычислением количества зерна, числа кирпичей или размера площади, т.е. между решением задач, которые впоследствии разделялись бы на арифметические и геометрические. "Центральной задачей математики на ранней стадии ее развития, - пишет Нейгебауэр, - является численное нахождение решения, удовлетворяющего некоторым условиям. На этом уровне нет существенного различия между делением суммы денег согласно определенным правилам или делением поля данного размера на, скажем, участки равной площади. Во всех случаях нужно соблюдать внешние условия, в одном случае условия наследования, в другом - правила для определения площади, или отношения между мерами, или установившиеся нормы оплаты работников. Математическая ценность задачи состоит в ее арифметическом решении, "геометрия" является лишь одним из многих объектов практической жизни, к которым можно применить арифметические методы". В этом отношении характерны специальные тексты, предназначенные для писцов, занимавшихся решением математических задач. Писцы должны были знать все численные "коэффициенты", нужные им для вычислений. В списках "коэффициентов" содержатся "коэффициенты" для "кирпичей", для "стен", затем для "треугольника", для "сегмента круга", далее для "меди", "серебра", "золота", для "грузового судна", "ячменя", для "диагонали", "резки тростника" и т.д.

В Греции мы наблюдаем появление того, что можно назвать теоретической системой математики: греки впервые стали строго выводить одни математические положения из других, т.е. ввели в математику доказательство. "Отдельные математические теории, - пишет историк математики И.Г. Башмакова, - строятся как системы, основанные на доказательстве. Доказательство, система доказательств играют в нашей науке особую роль. Ведь большинство высказываний математики относится к бесконечному множеству объектов. Так, положение о том, что сумма углов треугольника равна 2d, не может быть установлено никаким конечным числом проверок: во-первых, потому, что треугольников бесконечно много и, во-вторых, каждое практическое измерение производится только с некоторой определенной степенью точности. Без доказательства никогда не могла бы быть открыта несоизмеримость величин, а без этого не существовало бы важнейших разделов современной математики. Можно сказать, что математика как наука стала существовать только после систематического введения в нее доказательств" (курсив мой. - П.Г.). Одной из причин того, что математика стала в Древней Греции теоретической наукой, опирающейся на доказательство, был ее тесный союз с философией. Этот союз определил характер не только древнегреческой математики, но и философии, особенно таких ее направлений, как пифагорейство, платонизм, а позднее - неоплатонизм. Не случайно время возникновения философии - конец VI-V вв. до н.э. совпадает с периодом становления теоретической математики.

Надо отметить, что в Древней Греции так же, как и в Вавилоне и Египте, разрабатывалась техника вычислений, без которой невозможно было решать практические задачи строительства, военного дела, торговли, мореходства и т.д. Но важно иметь в виду, что сами греки называли приемы вычислительной арифметики и алгебры логистикой (logistika - счетное искусство, техника счисления) и отличали логистику как искусство вычисления от теоретической математики. Правила вычислений, стало быть, разрабатывались в Греции точно так же, как и на Востоке, и, конечно, греки при этом могли заимствовать очень многое как у египтян, так и в особенности у вавилонян.