Как нетрудно видеть, все аксиомы, кроме 7-й и 9-й, одинаково могут быть отнесены как к геометрии, так и арифметике; что же касается 7-й и 9-й, то Л. Хис считает их позднейшей вставкой, и его мнение разделяет М.Я. Выгодский.

Аксиомы, как и определения, ничего не говорят о существовании определяемого ими объекта. Отличие определений от аксиом легко заметить: определения имеют более специальный характер, они вводят именно геометрические объекты, аксиомы же (по крайней мере 1Ч6-є и 8-я) могут иметь значение и для геометрии, и для арифметики, т.е. носят более общий характер. Это различие подтверждается и тем, что Евклид формулирует специальные определения в начале каждой из книг своего сочинения; что же касается аксиом, то они предпосылаются сразу ко всем книгам.

По этому принципу отличал определения от аксиом и Аристотель. В "Аналитике второй" читаем: "Из тех начал, которые применяются в доказывающих науках, одни свойственны каждой науке в отдельности, другие - общи всем... Свойственным является, например, то, что линия - такая-то и прямое - такое-то. Общее же, например, то, что если от равного отнять равные , то остаются равные же . Каждым из таких можно пользоваться, поскольку оно относится к роду, подчиненному данной науке, ибо оно будет иметь одинаковую силу, если и не брать его для всего , но - в отношении величин, а в арифметике - в отношении чисел". И действительно, аксиомы у Евклида формулируются в самом начале; что же касается определений, то они свои в начале каждой книги.

Иной характер, чем определения и аксиомы, носят постулаты. Греческий термин aДtїmata означает "требования". Постулаты, как и аксиомы, имеют общее значение: они перечислены в начале I книги и имеют силу для всех книг Евклида, где речь идет о геометрических объектах. Относительно количества постулатов очень много спорили уже в эпоху эллинизма и вплоть до нашего времени. По этому вопросу существует специальная весьма обширная литература, но мы рассмотрим его лишь с интересующей нас стороны.

Обратимся к переводу постулатов, сделанному М.Я. Выгодским со списка, который принят И. Гейбергом. Этот список, как говорит Выгодский, "соответствует большинству лучших рукописей и, что не менее важно, совпадает со списком, приводимым в комментариях Прокла. Поэтому можно думать, что нижеприводимые постулаты... содержались в оригинале "Начал". Вот их список.

Требования

1. Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую.

2. И ограниченную прямую непрерывно продолжать по прямой.

3. И из всякого центра всяким расстоянием описать круг.

4. И что все прямые углы равны.

5. И если прямая линия, падающая на две прямые, делает меньшими двух прямых углы по одну сторону, чтобы эти две прямые, будучи продолжены, совпали с той стороны, с которой углы меньше двух прямых".

Анализ евклидовых "Начал" неоплатоником Проклом

Неоплатоник Прокл (V в.) в своем комментарии к "Началам" Евклида говорит, что 4-й и 5-й постулаты - это, в сущности, не постулаты. "...ѕоложение, что все прямые углы равны, не есть требование, точно так же как и пятое положение, которое утверждает: если прямая пересекается с двумя другими прямыми и образует внутренние углы по одну сторону меньшие, чем два прямых, то эти две прямые, будучи продолжены, совпадут с той стороны, где лежат углы, меньше двух прямых". Как аргументирует Прокл свое утверждение? "Это положение, - говорит он, имея в виду 5-й постулат, - не применяется в качестве конструкции и не ставит требование что-то найти, а оно объясняет некоторое свойство, которое является общим для прямых углов и прямых, исходящих из углов, меньших двух прямых. Согласно второму определению, положение, что две прямые не объемлют поверхности (см. аксиому 9: "Две прямые не содержат пространства"), - положение, которое также теперь некоторые причисляют к аксиомам, не есть аксиома. Ибо оно принадлежит к геометрической материи, как и положение о равенстве двух прямых углов".

Это рассуждение Прокла в сущности уже содержит различение аксиом и постулатов - различение, которое нас как раз и интересует. Из слов Прокла можно понять, что к постулатам он причисляет лишь те положения, которые ставят требования что-то найти или сконструировать; по этой причине отнесенные к числу постулатов положения о равенстве всех прямых углов (4) и о пересечении двух непараллельных прямых при их продолжении (5) он постулатами не считает. В то же времє Прокл не согласен считать аксиомой положение 9, относимое, как он говорит, "некоторыми" к аксиомам: ведь оно трактует о поверхности (пространстве) и тем самым "принадлежит к геометрической материи". Заметим характерное выражение: геометрическая материя.

Аксиомы, согласно Проклу, так же отличаются от постулатов, как теоремы - от проблем: "Выведение из принципов опять-таки распадается на задачи (проблемы) и положения (теоремы). Первые обнимают собою построение фигур, разделение, вычитание и прибавление и вообще все, что с ними можно делать (vornehmen); последние указывают существенные свойства.