Но что такое "математические объекты", или "математические вещи", как их называет Аристотель? Чем они отличаются от чисел, которые Платон считает идеальными образованиями? Почему Платон, по словам Аристотеля, помещает эти самые "математические объекты" в промежутке - между миром идеального и чувственным миром, т.е. между числами и вещами?

Обратимся за разъяснением вопроса о природе чисел и "математических объектов" к самому Платону. Поясняя, что такое число, Сократ говорит своему собеседнику: ""Как ты думаешь, Главкон, если спросить их (математиков. - П.Г.): достойнейшие люди, о каких числах вы рассуждаете? Не о тех ли, в которых единица действительно такова, какой вы ее считаете, - то есть всякая единица равна всякой единице, ничуть от нее не отличается и не имеет в себе никаких частей?" - как ты думаешь, что они ответят?

- Да, по-моему, что они говорят о таких числах, которые допустимо лишь мыслить, а иначе с ними никак нельзя обращаться" (курсив мой. - П.Г.).

Итак, число - это идеальное образование, его нельзя воспринять чувственно, а можно только мыслить. В чувственном мире невозможно найти "единицу, которая ничем не отличалась бы от другой" - любой предмет чувственного мира, любая чувственная "единица" отличается от другого предмета, от другой "единицы", тождественны они лишь с точки зрения того, что каждый из предметов мыслится как "один", а "один" равен "одному" только в мире идеализаций. Как образования идеальные и постижимые только мыслью, числа не отличаются от идей ("суть идеи", как говорит Аристотель).

Важным моментом в платоновском обосновании числа как чисто мыслительного образования является положение о принципиальной неделимости единицы - неделимости логической, поскольку сама единица теперь мыслится как логическое начало. Согласно Платону, наука о числах "влечет душу ввысь и заставляет рассуждать о числах самих по себе, ни в коем случае не допуская, чтобы кто-нибудь подменял их имеющими число видимыми и осязаемыми телами. Ты ведь знаешь, что те, кто силен в этой науке, осмеют и отвергнут попытку мысленно разделить самое единицу, но если ты все-таки ее раздробишь, они снова умножат части, боясь, как бы единица оказалась не единицей, а многими долями одного".

Единица неделима, ибо она есть единое, а единое неделимо по определению. Единица, согласно концепции Платона, рождает множество, но и само множество имеет своим логическим условием единицу: ведь если нет единого, то нет и многого, поскольку многое - это множество единиц. Единицу нельзя разделить на том самом основании, которое Платон с предельной четкостью сформулировал в заключительных словах к диалогу "Парменид": "Если единое не существует, то ничего не существует".

Что же, однако, такое "математические вещи", или "математические объекты", о которых говорит Аристотель, и чем они отличаются у Платона от чисел? Вот что говорит об этом Платон: "Когда они (геометры. - П.Г.) пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. То же самое относится к произведениям ваяния и живописи, от них может падать тень и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть лишь мысленным взором" (курсив мой. - П.Г.).

Рассматривая эти соображения Платона в своей истории античной математики, Б.Л. ван дер Варден полагает, что античные математики должны были быть согласны здесь с Платоном. "И действительно, - пишет Варден, - для прямолинейных отрезков, которые можно видеть и эмпирически измерять, является бессмысленным вопрос, имеют ли они общую меру или нет: ширина волоса уложится целое число раз в любом начерченном отрезке. Вопрос о соизмеримости имеет смысл только для отрезков, создаваемых мыслью".

Платон, таким образом, различает геометрические фигуры, как они представлены на чертеже, и "фигуры сами по себе", т.е. такие, которые "можно видеть лишь мысленным взором". Видимо, последние как раз и есть те "математические вещи", которые, по свидетельству Аристотеля, Платон отличает от чисел и которые он считает промежуточными, помещая их между миром идеального и чувственным миром.

"Математические объекты", стало быть, - это те образования, которыми оперирует не арифметика, имеющая дело с числами, а геометрия, это фигуры: окружности, треугольники, четырехугольники - и их элементы: радиусы, углы, диагонали, биссектрисы и т.д., т.е. линии и плоскости, по-разному сконструированные. К математическим Платон относит и "объекты" стереометрии: шар, куб, тетраэдр, икосаэдр и др. Все это, согласно Платону, объекты мысли, но они в то же время могут иметь чувственные подобия, чувственные аналоги: в качестве таких подобий могут выступать не только начерченные на песке или на восковой дощечке круги, треугольники и т.