.. Всякое число мы разделили надвое: то, которое может возникнуть в результате помножения [какого-нибудь другого числа] на самого себя, мы, беря образ четырехугольника, назвали равносторонним четырехугольником...; то же число, которое находится между этим, как, например, 3, 5 и всякое, не могущее возникнуть из умножения на себя, но возникающее из умножения большего на меньшее или меньшего на большее, так что стороны его берутся то большими, то меньшими, это число мы, тоже беря отрез продолговатой фигуры, назвали продолговатым числом... Прямые, ограничивающие плоское равностороннее четырехугольное число, мы определили в качестве длины (mкcos) [то есть величинами, измеримыми в линейных мерах]; те же, которые ограничивают число разностороннее – как динамические прямые [неизмеримыми в линейных мерах], поскольку они не соизмеримы по длине с предыдущими, но соизмеримы с теми плоскими фигурами, для которых они являются динамическими. То же самое относится и ко всем [трехмерным] телам".

С первого взгляда этот отрывок не имеет никакого отношения ни к учению о симметрии, ни даже вообще к истории эстетики. Тем не менее всякий, кто внимательно изучил платоновского "Теэтета", невольно обращал внимание на этот отрывок и если его не анализировал, то только потому, что гносеология "Теэтета" по своим темам слишком далека от этого незначительного и вполне случайного арифметически-геометрического эпизода. Речь тут идет именно о симметрии, но, конечно, не в нашем, а в чисто платоновском смысле, что для историка как раз и представляет интерес. Попробуем проанализировать этот отрывок из "Теэтета".

Итак, – это ясно раньше всего остального, – Платон устанавливает здесь различие между числами рациональными и иррациональными. Одни числа можно получить из умножения какого-нибудь другого числа на него же самого; другие так нельзя получить. Мы говорим теперь иначе: из одних корень в целых числах извлекается, из других – не извлекается. Для Платона, далее, возникает вопрос: как же можно себе конкретно представить такое иррациональное число? Ведь в арифметическом смысле это есть целое число плюс некоторого рода бесконечная десятичная дробь. Можно ли представить себе всю эту иррациональность, всю эту беспредельность, бесконечность, представить не в отвлеченном понятии (отвлеченное понятие достаточно демонстрируется и выражается арифметическими знаками 2, 3, 5 и т.д.), но представить наглядно, картинно, фигурно, скульптурно?

Для Платона (и для грека вообще) это было вопросом о возможности существования самой этой иррациональности и самой этой идеальности. Или она есть, – тогда она представима зрительно; или она не представима зрительно, – тогда ее для античного человека не существует.

И вот Платон находит форму наглядного представления для иррационально данной бесконечности. Это – форма геометрическая. Оказывается, что если мы возьмем квадрат со сторонами, равными 1 футу, то диагональ этого квадрата как раз будет равняться 2 футов. Что мы тут имеем в такой диагонали? С одной стороны, она есть нечто несоизмеримое со стороной квадрата, то есть ее нельзя точно выразить никаким конечным числом арифметических знаков и действий. Это – беспредельная тьма точек на прямой, которые все же не составляют этой прямой и нисколько ее не заполняют. Но, во-вторых, оказывается, что эта беспредельность и эта иррациональность вполне видима и осязаема, даже является элементом вполне конечной и зрительно данной фигуры. Тут же, в этой же самой фигуре, в этом же самом квадрате, одна прямая имеет длину в 1 фут; и тут же, в этом же самом квадрате – прямая диагональ, имеющая длину в 2 футов. Эта замечательная особенность геометрических фигур объединять конечность и бесконечность в одном зрительном образе, объединять рациональное и иррациональное в одном скульптурном единстве вызывала у Платона (и у пифагорейцев) величайшее изумление. Платон пишет о геометрии (Epin. 990d): "Ясно, что это – наука о том, как сделать соизмеримыми на плоскости числа, по своей природе несоизмеримые; кто может соображать, для того явным стало бы, что здесь чудо не человеческое, но прямо божественное". Итак, Платон нашел для себя способ представлять иррациональное и бесконечное как зрительное, конечное как фигурное и картинное.

Более подробно Платон представляет себе следующее простое геометрическое построение. Он берет сначала квадрат со стороной, равной единице, и получает в нем диагональ, равную 2. Эта диагональ несоизмерима со стороной квадрата, но если ее мыслить как сторону нового квадрата, то она будет с этой последней вполне соизмеримой, и вообще, взятая сама по себе, она ровно ничем не будет отличаться ни от каких других прямых. Построим теперь на этой диагонали квадрата прямоугольник с другой стороной, равной стороне нашего квадрата. Этот прямоугольник имеет диагональ 3 (это устанавливается путем простейшего вычисления, которого мы не будем здесь воспроизводить).