Благодаря этому многие учения мистиков, вроде Бергсона, были признаны устаревшими.

Кантор также разрешил давнишнюю логическую загадку бесконечных чисел. Возьмем ряд целых чисел, начиная с 1, сколько их? Ясно, что их число не конечно. Перед тысячей имеется тысяча чисел, перед миллионом – миллион. Какое бы конечное число мы ни назвали, ясно, что общее количество целых чисел больше этого, так как от единицы до данного числа имеется как раз данное число чисел, и ведь есть еще и другие числа, которые больше данного. Число конечных целых чисел должно быть поэтому бесконечным числом. Но дальше следует любопытный факт. Число четных чисел должно быть таково же, как и число всех целых чисел. Рассмотрим два ряда:

1. 2, 3, 4, 5, 6.
2. 4, 6, 8, 10, 12

Каждому из чисел верхнего ряда соответствует число в нижнем ряду, поэтому число членов в обоих рядах должно быть одинаково, хотя нижний ряд состоит только из половины членов верхнего ряда. Лейбниц, заметивший это, считал это противоречием и заключил, что хотя имеются бесконечные совокупности, но не имеется бесконечных чисел. Наоборот, Георг Кантор смело отрицал наличие здесь противоречия. Он был прав: это только кажется странным.

Георг Кантор определил "бесконечное" множество как имеющее части, содержащие столь же много членов, как и все множество. На этой основе он смог построить наиболее интересную математическую теорию бесконечных чисел, включив в область точной логики целую область, до этого полную мистицизма и путаницы.

Следующей значительной фигурой был Фреге, который опубликовал свою первую работу в 1879 году, а в 1884 году дал свое определение "числа". Но, несмотря на то, что его исследования открывали новую эпоху, он оставался непризнанным до тех пор, пока в 1903 году я не привлек внимания к его работам. Интересно отметить, что все определения числа, предложенные до Фреге, содержали элементарные логические ошибки. Обычно "число" раньше отождествляли с "множественностью, совокупностью". Однако конкретный пример "числа" – это определенное число, скажем 3, а конкретный пример 3 – это определенная тройка. Тройка и есть совокупность, а класс всех троек, который Фреге отождествляет с числом 3, есть совокупность совокупностей, а число вообще, частным случаем которого является 3, есть совокупность совокупностей совокупностей. Элементарная грамматическая ошибка, состоящая в смешении числа вообще с простой совокупностью данной тройки, сделала всю философию числа до Фреге переплетением абсурда в самом строгом смысле слова. Из работ Фреге следует, что арифметика и чистая математика в общем есть не что иное, как продолжение дедуктивной логики. Это опровергает теорию Канта о том, что арифметические суждения являются "синтетическими" и заключают в себе ссылку на время. Дальнейшее выведение чистой математики из логики было детально осуществлено Уайтхедом и мной в "Principia Mathematica".

Постепенно становилось ясным, что большую часть философии можно свести к так называемому "синтаксису", хотя это слово надо здесь использовать в более широком смысле, чем к этому привыкли до сих пор. Некоторые ученые, в особенности Карнап, выдвинули теорию, что все философские проблемы в действительности являются синтаксическими, и если избежать ошибок в синтаксисе, то любая философская проблема будет или решена средствами синтаксиса, или будет показана ее неразрешимость. Я думаю, и Карнап теперь согласится, что это преувеличение, но нет сомнения, что пригодность философского синтаксиса для решения традиционных проблем очень велика.

Я проиллюстрирую эту пригодность кратким объяснением того, что называют теорией дескрипции. Под "дескрипцией" я подразумеваю такую фразу, как, например, "теперешний президент Соединенных Штатов", где обозначается какая-то личность или вещь, но не именем, а некоторым свойством, принадлежащим, как предполагают, или как известно, исключительно этой личности или вещи. Такие фразы причиняли раньше много неприятностей. Предположим, я говорю: "Золотая гора не существует", – и предположим, вы спрашиваете: "Что именно не существует?" Казалось бы, что если я отвечу: "Золотая гора", – то тем самым я припишу ей какой-то вид существования. Очевидно, что если я скажу: "Круглого квадрата не существует", – это будет не тем же, а другим высказыванием. Здесь, по-видимому, подразумевается, что золотая гора – это одно, а круглый квадрат – другое, хотя и то и другое не существует. Назначение теории описаний – преодолеть эти, а также и другие трудности.

Согласно этой теории, если утверждение, содержащее фразу и форме "то-то и то-то", анализируется правильно, то фраза "то-то и то-то" исчезает. Например, возьмем утверждение "Скотт был автором "Веверлея". Теория интерпретирует это утверждение следующим образом:


"Один и только один человек написал "Веверлея", и этим человеком был Скотт".
Или более полно:


"Имеется один объект с, такой, что утверждение "x написал "Веверлея" истинно, если х есть с, и ложно в других случаях.