Скачать 18.87 Кбайт
О синтаксической связности
Она имеет вид:
¦s
+--n
¦s
Но при этом не пропал индекс с чертой. С учетом этого
обстоятельства мы не опускаем черту и последняя производная I, а
тем самым и показатель B имеют вид:
s ¦s s ¦s
--- +-- -- n +-- n.
ss ¦s n ¦s
Таким образом, выражение В не имеет показателя в виде
единичного индекса.
Мы познакомились с методом получения показателя выражений,
содержащих операторы. Очевидно, что этот метод содержит как
частный случай ранее рассмотренный метод, пригодный для выражений
без операторов (при его формулировании нужно было бы только
вспомнить о "случайно" встречающихся индексах с чертами). Сейчас
мы могли бы приведенную ранее дефиницию синтаксической связности
повторить дословно и она также была бы обязательна для выражений,
содержащих операторы.
10. Понятие синтаксической связности выражений без
операторов совпадает с понятием их синтаксической связности.
Однако для выражений с операторами к понятию синтаксической
связности должно добавиться еще одно условие. Это условие
требует, чтобы в аргументе каждого оператора, т.е. в выражении к
которому оператор применим 7), каждой переменной, на которую
указывает оператор, соответствовала эквиморфная переменная, не
связанная внутри этого аргумента. Лишь тогда, когда это условие
выполняется, синтаксически связанное выражение, содержащее
операторы, является также и синтаксически правильным.
III.
11. Связывающую роль операторов мы посчитали их характерным
свойством, отличающей операторы от функторов. Связывание одной
или нескольких переменных является общей свойством всех
операторов. Кроме этой связующей роли различные операторы играют
и другие роли, чем и отличаются между собой. Однако существует
оператор, роль которого исчерпывается связыванием одной или
больше переменных. Как кажется, таким оператором является знак
"^", введенный Расселлом и Уайтхедом. Расселл употребляет этот
знак для различения того, что он называет "неопределенным
значением функции" от того, что называется "самой функцией". Если
"fx" есть символ неопределенного значения функции, то "fx^"
представляет саму функцию. Однако при ближайшем рассмотрении
оказывается, что то, что Расселл называет "неопределенным
значением функции" является тем, что где-то в других местах
называется "значением зависимой переменной". Зато то, что Расселл
называет "самой функцией", не является никакой переменной, но
чем-то постоянным. Более глубокое проникновение в замечания, при
помощи которых Расселл выясняет понятие "собственно функции",
приводит к допущению, что этим определением Расселл хочет
ухватить то, что мы назвали бы объективным эквивалентом функтора.
Итак, fx^ есть то же, что f, и символы "fx^" и "f" имеют один
денотат. Если эта интерпретация верна, то знак "^" можно
причислить к операторам, поскольку его роль заключается в
"вычеркивании" или "связывании" переменной. Нужно еще вспомнить,
что при помощи знака "^" можно одновременно связывать в одном
выражении несколько переменных. Так, например, "fx^y^"
представляет функтор двух аргументов "f".
В простейших случаях, когда знак "^" ставится над всеми
аргументами главного функтора всего выражения, например, в часто
используемых примерах "fx^" или "fx^y^", знак "^" действует так
же, как черта, которой перечеркивают акцентируемую переменную
(т.е. переменную, над которой находится знак "^") и таким образом
ее элиминируют. Однако если не все аргументы главного функтора
всего выражения акцентированы, то роль знака "^" уже не
отождествима c обычным перечеркиванием. Так, например, "p^-->.a.~a"
(причем "a" должно быть постоянным предложением) представляет
функтор "f" типа s/s, для которого имеет место эквивалентность
fp..p-->.a.~a .
Сразу видно, что знак отрицания на месте "f" выполняет эту экви-
валентность. Следовательно, "p^-->a.~a" означает то же, что "~".
Зато выражение "-->.a.~a", которое можно было бы получить из
"p-->.a.~a" посредством перечеркивания буквы "p", не представляет
функтор типа s/s и вообще это выражение не является синтаксически
связанным.
12. Если все выражение, в котором знак "^" соотносится с
какой-то переменной, принадлежит к категории предложений, тогда в
символике Расселла мы находим другой знак, с которым знак "^"
можно отождествить.
¦s
+--n
¦s
Но при этом не пропал индекс с чертой. С учетом этого
обстоятельства мы не опускаем черту и последняя производная I, а
тем самым и показатель B имеют вид:
s ¦s s ¦s
--- +-- -- n +-- n.
ss ¦s n ¦s
Таким образом, выражение В не имеет показателя в виде
единичного индекса.
Мы познакомились с методом получения показателя выражений,
содержащих операторы. Очевидно, что этот метод содержит как
частный случай ранее рассмотренный метод, пригодный для выражений
без операторов (при его формулировании нужно было бы только
вспомнить о "случайно" встречающихся индексах с чертами). Сейчас
мы могли бы приведенную ранее дефиницию синтаксической связности
повторить дословно и она также была бы обязательна для выражений,
содержащих операторы.
10. Понятие синтаксической связности выражений без
операторов совпадает с понятием их синтаксической связности.
Однако для выражений с операторами к понятию синтаксической
связности должно добавиться еще одно условие. Это условие
требует, чтобы в аргументе каждого оператора, т.е. в выражении к
которому оператор применим 7), каждой переменной, на которую
указывает оператор, соответствовала эквиморфная переменная, не
связанная внутри этого аргумента. Лишь тогда, когда это условие
выполняется, синтаксически связанное выражение, содержащее
операторы, является также и синтаксически правильным.
III.
11. Связывающую роль операторов мы посчитали их характерным
свойством, отличающей операторы от функторов. Связывание одной
или нескольких переменных является общей свойством всех
операторов. Кроме этой связующей роли различные операторы играют
и другие роли, чем и отличаются между собой. Однако существует
оператор, роль которого исчерпывается связыванием одной или
больше переменных. Как кажется, таким оператором является знак
"^", введенный Расселлом и Уайтхедом. Расселл употребляет этот
знак для различения того, что он называет "неопределенным
значением функции" от того, что называется "самой функцией". Если
"fx" есть символ неопределенного значения функции, то "fx^"
представляет саму функцию. Однако при ближайшем рассмотрении
оказывается, что то, что Расселл называет "неопределенным
значением функции" является тем, что где-то в других местах
называется "значением зависимой переменной". Зато то, что Расселл
называет "самой функцией", не является никакой переменной, но
чем-то постоянным. Более глубокое проникновение в замечания, при
помощи которых Расселл выясняет понятие "собственно функции",
приводит к допущению, что этим определением Расселл хочет
ухватить то, что мы назвали бы объективным эквивалентом функтора.
Итак, fx^ есть то же, что f, и символы "fx^" и "f" имеют один
денотат. Если эта интерпретация верна, то знак "^" можно
причислить к операторам, поскольку его роль заключается в
"вычеркивании" или "связывании" переменной. Нужно еще вспомнить,
что при помощи знака "^" можно одновременно связывать в одном
выражении несколько переменных. Так, например, "fx^y^"
представляет функтор двух аргументов "f".
В простейших случаях, когда знак "^" ставится над всеми
аргументами главного функтора всего выражения, например, в часто
используемых примерах "fx^" или "fx^y^", знак "^" действует так
же, как черта, которой перечеркивают акцентируемую переменную
(т.е. переменную, над которой находится знак "^") и таким образом
ее элиминируют. Однако если не все аргументы главного функтора
всего выражения акцентированы, то роль знака "^" уже не
отождествима c обычным перечеркиванием. Так, например, "p^-->.a.~a"
(причем "a" должно быть постоянным предложением) представляет
функтор "f" типа s/s, для которого имеет место эквивалентность
fp..p-->.a.~a .
Сразу видно, что знак отрицания на месте "f" выполняет эту экви-
валентность. Следовательно, "p^-->a.~a" означает то же, что "~".
Зато выражение "-->.a.~a", которое можно было бы получить из
"p-->.a.~a" посредством перечеркивания буквы "p", не представляет
функтор типа s/s и вообще это выражение не является синтаксически
связанным.
12. Если все выражение, в котором знак "^" соотносится с
какой-то переменной, принадлежит к категории предложений, тогда в
символике Расселла мы находим другой знак, с которым знак "^"
можно отождествить.
|
|