В качестве предисловия полезными могут быть несколько слов относительно исторического развития. Я пришёл в философию через  математику, или скорее через желание найти некоторую причину убеждённости в истинности математики. С ранней юности я  горячо желал убедиться в том, что может существовать такая вещь,  как познание, сочетающаяся со значительными затруднениями в допущении много из того, что проходит как познание. По-видимому,  ясно, что лучший шанс обнаружить несомненную истину заключался бы в чистой математике, однако некоторые из аксиом  Евклида были очевидно сомнительными, и исчисление бесконечно  малых, когда я его изучал, содержало массу софизмов, которые я не мог обойти вниманием как что-то другое. Я не видел причины  сомневаться в истинности арифметики, но я не знал тогда, что  можно сделать так, чтобы арифметика включала всю традици онную чистую математику. В восемнадцатилетнем возрасте я про читал Логику Милля*, но был глубоко неудовлетворён его сообра жениями в пользу принятия арифметики и геометрии. Я не читал  Юма, но мне казалось, что чистый эмпиризм (который я отказы вался принять) должен вести к скептицизму, а не к подтвержде нию,  как у Милля, общепризнанных научных доктрин. В Кем бридже я читал Канта и Гегеля, а также Логику м-ра Брэдаи, кото рая глубоко на меня повлияла. В течение нескольких лет я был  учеником м-ра Брэдли, но около 1898 года я изменил свои взгляды,  по большей части в результате споров с Дж-Э.Муром. Больше я не  мог быть уверенным в том, что знание создаёт какие-то различия в style='font-size:10.0pt'>познаваемом. Также я обнаружил, что смещаюсь в сторону плюрализма. Анализ математических пропозиций убедил меня в том, что они не могут быть объяснены даже как отчасти истинные, если не допускать плюрализм и действительность отношений. В это время случай привёл меня к изучению Лейбница, и я пришёл к заключению  (в последующем подтверждённому  мастерскими исследованиями Купора*), что значительная часть большинства его характерных мнений  обусловлена чисто логической доктриной о том, что каждая пропозиция имеет субъект и предикат. Эту доктрину Лейбниц  разделяет со Спинозой, Гегелем и м-ром Брэдли; мне кажется, что если её отвергнуть, всё основание метафизики всех этих философов разрушится. Поэтому я вернулся к проблеме, которая первоначально привела меня в философию, а именно, к основаниям математики и применению к ним новой логики, в основном производной от Пеано* и Фреге*, доказательства которой (по крайней мере, так я думаю) гораздо более продуктивны, чем доказательства традиционной философии.    Прежде всего я обнаружил, что многие из запасённых философских аргументов, касающихся математики (в основном производных от Канта), стали между тем недействительными в результате прогресса в математике. Неэвклидова геометрия подорвала аргумент  трансцендентальной эстетики. Вейерштрасс* показал, что дифференциальное и интегральное исчисление не требуют понятия бесконечно малого, и что, стало быть, всё, сказанное философами на такую тему, как непрерывность пространства, времени и движения, должно рассматриваться как явная ошибка. Кантор освободил понятое бесконечного числа от противоречия, и, таким образом, разрушил антиномии  Канта, а также многое у Гегеля. Наконец, Фреге в деталях показал, каким образом арифметика может быть выведена из чистой логики без необходимости в каких-либо свежих идеях или аксиомах; последнее разрушило утверждение Канта о том, что '7 + 5 = 12' является синтетическим выражением - по крайней мере в его очевидной интерпретации. Когда все эти результаты были получены, не с помощью какого-то героического метода, но с помощью  терпеливого детального размышления, я стал думать о вероятности того, что философия заблуждается, адаптируя героические средства для интеллектуальньк затруднений, и что решения должны быть найдены просто большей заботой и аккуратностью. Этой точки зрения с течением времени я стремился придерживаться всё более и более строго, и она привела меня к сомнениям, является ли философия, как исследование, отличное от науки и предполагающее свои собственные методы, чем-то большим, чем неудачным наследием теологии.

   Работа Фреге не была окончательной, прежде всего, потому, что она применялась только к арифметике, и не применялась к другим отраслям математики; во-вторьк, потому что его предпосылки не исключали  определённых противоречий, которым  оказывались подвержены все прежние системы формальной логики. Д-р Уайг-хед и я, в соавторстве, попытались исправить эти два дефекта в Principia Mathematica, 10.0pt'> которая, однако, всё ещё не достигает конца в некоторых фундаментальных пунктах (особенно в аксиоме сводимости). Но несмотря на её недостатки, я думаю, никто из читавших эту книгу не будет оспаривать её главное утверждение, а именно, что из определённых идей и аксиом формальной логики с помощью  логики отношений можно вывести всю чистую математику без каких-либо новых неопределённых идей или недоказанных  пропозиций.