Следовательно, не верным будет то, что он утверждает ложную пропозицию, и он остаётся лжецом. Сходным образом, если бы он говорил, что утверждал ложную  пропозицию 30,000-ного типа, последнее было бы утверждением 30,001-го типа, поэтому, он всё ещё оставался бы лжецом. И контраргумент, доказывающий, что он к тому же не был лжецом, разрушается.    Вы можете сформулировать, что общность любой разновидности не может быть членом самой себя. Последнее применимо к тому, что мы говорим о классах. Например, общность классов в мире не может быть классом в том же самом смысле, в котором последние являются классами. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с классов, которые всецело составлены из индивидов: это будет первым типом классов. Затем мы перейдём к классам, членами которых являются классы первого типа: это будет второй тип. Затем, мы перейдём к классам, членами которьк являются классы второго типа: это будет третий тип^ и т.д. Для класса одного типа никогда невозможно быть или не быть тождественным с классом другого типа. Это применимо к вопросу, который я обсуждал немного ранее, относительно того, как много предметов существует в мире. Предположим, в мире имеется три индивида. Тогда, как я объяснял, существует 8 классов индивидов. Классов классов индивидов будет 28 (т.е. 256), а классов классов классов индивидов 225 , и т.д. Вы не получите какого-то вырастающего отсюда противоречия, когда задаёте себе вопрос: 'Существует или  нет наибольшее кардинальное  число?', ответ всецело зависит от того, ограничиваетесь ли вы одним типом, или же нет. В рамках любого заданного типа наибольшее кардинальное число существует, а именно, число объектов данного типа, но вы всегда способны ПОЛУЧИТЬ большее число, переходя к следующему типу. Следовательно, нет столь большого числа, но вы можете ПОЛУЧИТЬ большее число подходящего высокого типа. Здесь у вас есть две стороны этого спора: одна, когда тип задан, и другая, когда тип не задан.    Ради краткости я говорил так, как если бы все эти различные типы  предметов существовали реально. Конечно, это чепуха. Существуют индивиды, но при переходе к классам, классам классов и классам классов классов говорят о логических фикциях. Когда я говорю, что таких предметов нет, это снова некорректно. Бессмысленно сказать: 'Существуют такие предметы', в том же самом смысле  слова 'существуют', в котором вы можете сказать: 'Существуют индивиды'. Если я говорю: 'Существуют индивиды' и 'Существуют  классы', два выражения 'существуют' в этих двух пропозициях  должны будут иметь различные значения, и если они имеют  подходящие различные  значения, обе пропозиции могут быть  истинными. Если, с другой стороны, слово 'существует' используется в обеих пропозициях в одинаковом смысле, тогда по крайней мере одно из этих высказываний должно быть вздором, не ложью,  но вздором. Тогда возникает вопрос, что же представляет собой тот смысл, в котором можно сказать: 'Существуют классы', или , другими словами, что же вы подразумеваете высказыванием, в которое, как кажется, входят классы? Прежде всего, что предпочли бы  вы сказать о классах? Как раз то же самое, что требуется вам для того, чтобы говорить о пропозициональных функциях. Вы хотите сказать о пропозициональной функции, что она иногда является истинной. Это то же самое, как если о классе говорят, что онимеет члены. Вы хотите сказать, что это истинно в точности для 100 значений переменных. Последнее одинаково с тем, когда о классе, говорят, что он имеет сто членов. Всё то, что вы хотите сказать о классах, одинаково с тем, что вы хотите сказать о пропозициональных функциям  исключая случайные и неуместные лингвистические формы, однако с определёнными оговорками, которые теперь должны быть объяснены.    Возьмём,  например, две пропозициональные функции, такие как 'х - человек', 'х - беспёрое, двуногое'. Обе они формально эквивалентны, т.е. когда одна из них является истинной, таковой является и другая, и наоборот. Кое-что из того, что вы можете сказать о пропозициональной функции, не будет необходимо оставаться истинным, если вы на её место подставите другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. Например, пропозициональная функция 'у - человек' одна из тех, что должны иметь дело с понятием человечество. Последнее не верно для 'х -беспёрое, двуногое'. Или, если вы говорите: 'Тот-то и -тот-то утверждает, что такой-то и такой-то является человеком', сюда входит пропозициональная функция 'х - человек', но 'х - беспёрое, двуногое' - нет. Есть много такого, что вы можете сказать о пропозициональной функции, которая не была бы истинной, если бы вы подставили другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. С  другой стороны, любое высказывание о пропозициональной функции, которая остаётся истинной или остаётся ложной, в зависимости от обстоятельств, когда вы подставляете вместо неё другую формально  эквивалентную пропозициональную функцию, может рассматриваться как относящаяся к классу, который ассоциируется с пропозициональной функцией.