Скачать 19.02 Кбайт
С чем идет современная логика в XXI век?
А если никакого варианта выбора не предложено, то получается элементарная двусмысленность, которая часто приводит к "необъяснимым" парадоксам.
Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности. Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех "несамоприменимых" множеств, то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "несамоприменимым". От противоречия легко избавиться, если отказаться от утверждения, что множество (но не его имя, обозначение или определение) может быть элементом какого-то множества. И в соответствии с этим выражение "множество есть элемент множества" рассматривать как неудачную метафору для одного (и только одного!) из сформулированных выше вариантов объяснения.
Нашлись горячие головы, которые из противоречивости парадокса Рассела пришли к выводу о необходимости запрета любых "самоприменимых" конструкций. Такое же мнение в свое время высказал и сам Рассел. Но оказывается в математике вполне возможны и даже необходимы "самоприменимости" в другом смысле, которые не влекут "неразрешимых" парадоксов. Элементарным примером является "самоприменимость" отношения включения множеств: в аксиомах алгебры множеств предусматривается, что любое множество включено в самого себя. Но здесь множество содержится в себе не как элемент, а как множество (точнее, как "нестрогое подмножество"). Однако при этом никакого парадокса не возникает, так как "несамоприменимых" в этом смысле множеств просто не существует и для "самоприменимости" нет альтернативы.
Другим примером "самоприменимости" является структуры списков, которые часто используются в современном программировании и в системах искусственного интеллекта. Грубо говоря, списки — это некоторые структуры, связанные друг с другом системой ссылок. С помощью этих ссылок можно "путешествовать", переходя от одной структуры к другой. Для списков вполне допустима (а во многих системах искусственного интеллекта даже необходима) ситуация, когда в системе ссылок одного списка встречается ссылка на тот же самый список или ссылка из списка нижнего уровня на головной список. Здесь просто необходимо знать о существовании такой необычной "самоприменимой" ссылки, чтобы не хвататься за голову в ситуации, когда программа обработки списков при определенных условиях (порой из-за небрежности программиста) входит в бесконечный цикл.
Можно отнести к категории "самоприменимых" также некоторые рекурсивные функции и процедуры. Например, известный из школьной математики факториал
n! = 1*2*...*(n-2)*(n-1)*n
можно определить как рекурсивную функцию F с помощью двух равенств:
F(1) = 1; F(n+1) = (n+1)*F(n).
Такое определение не совсем привычно для человека, несведущего в математике, но является вполне корректным и во многих случаях даже полезным не только для теории, но и для практики. Необычность его заключается в том, что одна и та же функция F здесь используется в левой и в правой части второго равенства. Но "самоприменимость" здесь можно рассматривать как метафору, поскольку в разных частях равенства эта функция используется с разными значениями аргумента. К тому же в записи рекурсивной функции равенство (=) означает не отношение, а известную программистам операцию присваивания. Примером такого "равенства" является кажущаяся абсурдной запись "X=X+1", которая означает, что значение X в результате операции присваивания увеличивается на единицу.
Однако эти и многие другие примеры "самоприменимости" не имеют ничего общего с "самоприменимостью" по Расселу, в которой "множество" без всякого пояснения становится "элементом". "Множество" как целое — это первичное свойство некоторых "элементов". Мы можем даже не знать других свойств выделенного множества. Но раз понятие "множество" используется как свойство, то отождествление его с сущностями ("элементами"), характеризующимися этим свойством, сразу же приводит к двусмысленности.
К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоретических рассуждениях по основаниям математики и математической логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся "скрытые" определения и двусмысленности [2]. Тогда они лишь намечались и можно только восхищаться прозорливости Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере, и свидетельствуют о "скрытой диверсии" в логике и в основаниях математики. Но если такая "диверсия" допускается для основополагающих понятий математики, то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим частным логическим и математическим понятиям.
Можно было бы не уделять особого внимания этим терминологическим нюансам, если бы не одно обстоятельство. Оказывается, что многие парадоксы и несообразности современной логики и дискретной математики являются прямым следствием или подражанием этой двусмысленности. Например, в современных математических рассуждениях часто используется понятие "самоприменимость", которое лежит в основе парадокса Рассела. В формулировке этого парадокса под самоприменимостью подразумевается существование множеств, которые являются элементами самих себя. Такое утверждение сразу же приводит к парадоксу. Если мы рассмотрим множество всех "несамоприменимых" множеств, то окажется, что оно является одновременно "самоприменимым" и "несамоприменимым". От противоречия легко избавиться, если отказаться от утверждения, что множество (но не его имя, обозначение или определение) может быть элементом какого-то множества. И в соответствии с этим выражение "множество есть элемент множества" рассматривать как неудачную метафору для одного (и только одного!) из сформулированных выше вариантов объяснения.
Нашлись горячие головы, которые из противоречивости парадокса Рассела пришли к выводу о необходимости запрета любых "самоприменимых" конструкций. Такое же мнение в свое время высказал и сам Рассел. Но оказывается в математике вполне возможны и даже необходимы "самоприменимости" в другом смысле, которые не влекут "неразрешимых" парадоксов. Элементарным примером является "самоприменимость" отношения включения множеств: в аксиомах алгебры множеств предусматривается, что любое множество включено в самого себя. Но здесь множество содержится в себе не как элемент, а как множество (точнее, как "нестрогое подмножество"). Однако при этом никакого парадокса не возникает, так как "несамоприменимых" в этом смысле множеств просто не существует и для "самоприменимости" нет альтернативы.
Другим примером "самоприменимости" является структуры списков, которые часто используются в современном программировании и в системах искусственного интеллекта. Грубо говоря, списки — это некоторые структуры, связанные друг с другом системой ссылок. С помощью этих ссылок можно "путешествовать", переходя от одной структуры к другой. Для списков вполне допустима (а во многих системах искусственного интеллекта даже необходима) ситуация, когда в системе ссылок одного списка встречается ссылка на тот же самый список или ссылка из списка нижнего уровня на головной список. Здесь просто необходимо знать о существовании такой необычной "самоприменимой" ссылки, чтобы не хвататься за голову в ситуации, когда программа обработки списков при определенных условиях (порой из-за небрежности программиста) входит в бесконечный цикл.
Можно отнести к категории "самоприменимых" также некоторые рекурсивные функции и процедуры. Например, известный из школьной математики факториал
n! = 1*2*...*(n-2)*(n-1)*n
можно определить как рекурсивную функцию F с помощью двух равенств:
F(1) = 1; F(n+1) = (n+1)*F(n).
Такое определение не совсем привычно для человека, несведущего в математике, но является вполне корректным и во многих случаях даже полезным не только для теории, но и для практики. Необычность его заключается в том, что одна и та же функция F здесь используется в левой и в правой части второго равенства. Но "самоприменимость" здесь можно рассматривать как метафору, поскольку в разных частях равенства эта функция используется с разными значениями аргумента. К тому же в записи рекурсивной функции равенство (=) означает не отношение, а известную программистам операцию присваивания. Примером такого "равенства" является кажущаяся абсурдной запись "X=X+1", которая означает, что значение X в результате операции присваивания увеличивается на единицу.
Однако эти и многие другие примеры "самоприменимости" не имеют ничего общего с "самоприменимостью" по Расселу, в которой "множество" без всякого пояснения становится "элементом". "Множество" как целое — это первичное свойство некоторых "элементов". Мы можем даже не знать других свойств выделенного множества. Но раз понятие "множество" используется как свойство, то отождествление его с сущностями ("элементами"), характеризующимися этим свойством, сразу же приводит к двусмысленности.
К сожалению, такая терминологическая чехарда в современных теоретических рассуждениях по основаниям математики и математической логики встречается весьма часто. Еще в начале нашего века А. Пуанкаре отметил, что в чрезмерной формализации математики, которой увлеклись многие приверженцы научной школы Д. Гильберта, часто содержатся "скрытые" определения и двусмысленности [2]. Тогда они лишь намечались и можно только восхищаться прозорливости Пуанкаре. Но сейчас они проявились в полной мере, и свидетельствуют о "скрытой диверсии" в логике и в основаниях математики. Но если такая "диверсия" допускается для основополагающих понятий математики, то она оказывается объектом для подражания применительно ко многим частным логическим и математическим понятиям.
|
|