В наших же глазах метод Евклида в математике предстает лишь блестящим извращением. Но для каждого великого заблуждения, будь то в жизни или в науке, имевшего преднамеренный и методический характер и сопровождавшегося всеобщим одобрением, всегда можно найти причину в философии, какая господствовала в то время.

Элеаты впервые открыли различие, а иногда и противоречие между являющимся, цбйнпменпн, и мыслимым, нппхменпн,*

* Здесь не может быть и речи о кантовском злоупотреблении этими греческими терминами, которое я критикую в приложении.

и многообразно воспользовались этим для своих философем и для своих софизмов. По их стопам впоследствии пошли мегарцы, диалектики, софисты, новые академики и скептики 41. Они обратили внимание на призрачность, т.е. обман чувств, или, скорее, рассудка, превращающего данные чувств в созерцание; этот обман часто заставляет нас видеть такие вещи, которым разум уверенно отказывает в реальности, – например, переломленную палку в воде и т.п. Было понятно, что чувственному созерцанию нельзя доверять безусловно, и отсюда поспешно заключили, будто одно лишь разумное логическое мышление служит порукой истины, хотя Платон (в "Пармениде"), мегарцы, Пиррон 42 и новые академики показали на примерах (как позднее в том же роде Секст Эмпирик), что, с другой стороны, умозаключения и понятия тоже вводят в заблуждение и даже влекут за собой паралогизмы 43 и софизмы, которые возникают гораздо легче и разрешаются гораздо труднее, чем призрачность в чувственном созерцании. И тем не менее, рационализм, возникший в противовес эмпиризму, одержал верх, и в соответствии с ним Евклид обработал математику, поневоле обосновывая наглядной очевидностью (цбйнпменун) только одни аксиомы, а все остальное – умозаключениями (нппхменун). Его метод господствовал в течение всех веков, и этому не было бы конца, если бы не было установлено различие между чистым созерцанием a priori и эмпирическим созерцанием. Впрочем, уже комментатор Евклида Прокл, по-видимому, вполне сознавал эту разницу, как показывает у него то место, которое Кеплер перевел на латинский язык в своей книге De harmonia mundi; но Прокл не придал этому вопросу достаточной важности, поставил его слишком изолированно, остался незамеченным и не достиг цели. Только две тысячи лет спустя учение Канта, которому суждено провести столь великие перемены во всем знании, мышлении и деятельности европейских народов, оказало такое же влияние и на математику. Ибо лишь после того, как этот великий ум научил нас, что созерцания пространства и времени совершенно отличны от эмпирических, вполне независимы от всякого воздействия на чувства и обусловливают его, а не обусловливаются им, т.е. априорны и потому совсем недоступны иллюзиям чувств, – лишь после этого мы в состоянии понять, что логические приемы Евклида в математике являются ненужной предосторожностью, костылем для здоровых ног, что они подобны путнику, который, приняв ночью ясный, твердый путь за воду, боится ступить на него и все время ходит около по ухабистой почве и рад время от времени наталкиваться на мнимую воду. Лишь теперь мы можем с уверенностью утверждать, что то необходимое, что представляется нам при созерцании какой-нибудь фигуры, вытекает не из ее чертежа на бумаге, быть может, очень дурно исполненного, и не из абстрактного понятия, мыслимого при этом, а непосредственно из a priori известной нам формы всякого познания. Эта форма везде – закон основания; здесь она как форма созерцания, т.е. пространство, является законом основания бытия; но очевидность и значение его так же велики и непосредственны, как очевидность и значение закона основы познания, т.е. логическая достоверность. Поэтому нам нет нужды и не следует доверять только последней и покидать свойственную математике сферу для того, чтобы искать ей подтверждение в совершенно чуждой для нее области понятий. Оставаясь на свойственной математике почве, мы получаем то великое преимущество, что здесь знание того, что нечто обстоит так, совпадает со знанием того, почему это так, – между тем как евклидовский метод совершенно разделяет оба эти знания и дает лишь первое, а не последнее. Аристотель прекрасно говорит в Analyt. post. I, 27: "Знание сразу и о том, что есть, и о том, почему есть, более точно и первично, чем отдельно знание о том, что есть, и о том, почему есть". Ведь в физике мы только тогда испытываем удовлетворение, когда знание, что нечто обстоит так, соединяется со знанием, почему это так; что ртуть в торичеллиевой трубке подымается на высоту 28 дюймов, – это плохое знание, если не прибавить к нему, что ртуть держится на такой высоте противодействием воздуха. Почему же в математике мы должны довольствоваться тем qualitas occulta [скрытое качество] круга, что отрезки каждых двух пересекающихся в нем хорд всегда образуют равные прямоугольники? Что это так, Евклид в самом деле доказывает в 35-й теореме третьей книги; но почему это так, еще неизвестно. Точно так же и пифагорова теорема знакомит нас с qualitas occulta прямоугольного треугольника; ходульное, даже ковар