Всякая продолжительная, связная, планомерная деятельность должна поэтому исходить из основных принципов, т.е. из абстрактного знания, и ими руководствоваться.

Так, например, познание, имеющееся у рассудка об отношении между причиной и действием, само по себе гораздо совершеннее, глубже и содержательнее, чем то, что можно мыслить об этом in abstracto: только рассудок познает наглядно, непосредственно и совершенно, как действует рычаг, палиспаст, шестерня, как сам собою держится свод и т.д. Но вследствие только что затронутого свойства интуитивного познания – обращаться лишь к непосредственно данному, одного рассудка недостаточно для построения машин и зданий; здесь должен приняться за дело разум, заменить созерцания абстрактными понятиями, сделать их путеводной нитью в своей деятельности, и если они верны, то успех обеспечен. Точно так же в чистом созерцании мы в совершенстве познаем сущность и закономерность параболы, гиперболы, спирали, но чтобы сделать из этого познания верное приложение к действительности, его необходимо сначала превратить в абстрактное знание. При этом хотя оно и потеряет наглядность, но приобретает зато достоверность и определенность абстрактного знания. Таким образом, все дифференциальное исчисление не расширяет, собственно, нашего знания о кривых, не содержит ничего сверх того, что уже было в чистом созерцании их; но оно изменяет характер познания, превращая интуитивное в абстрактное, что оказывается необычайно плодотворным в применении. Здесь, однако, необходимо упомянуть еще об одном свойстве нашей познавательной способности, – его не могли заметить до тех пор, пока не было вполне уяснено различие между наглядным и абстрактным познанием. Свойство это заключается в том, что отношения пространства как таковые нельзя непосредственно перенести в абстрактное познание, но для этого пригодны только временные величины, т.е. числа. Только числа могут быть выражены в точно соответствующих им абстрактных понятиях, но не пространственные величины. Понятие тысячи так же отличается от понятия десяти, как обе временные величины отличаются в созерцании; в тысяче мы мыслим число, в определенное количество раз большее десяти, и мы можем для созерцания во времени произвольно разложить эту тысячу на десятки, т.е. счесть ее. Но между абстрактными понятиями мили и фута, без наглядного представления о них и без помощи числа не существует точного различия, соответствующего самим этим величинам. В обоих понятиях мыслится только пространственная величина вообще, и для того чтобы достаточно различить их, необходимо либо призвать на помощь пространственное созерцание, т.е. покинуть уже область абстрактного познания, либо же помыслить это различие в числах. Таким образом, если мы хотим иметь абстрактное знание о пространственных отношениях, то их нужно перенести сначала во временные отношения, т.е. в числа. Поэтому только арифметика, а не геометрия является общей наукой о величинах, и геометрия должна быть переведена в арифметику, если ее хотят сделать удобной для изложения другим и сообщить ей точную определенность и приложимость на практике. Правда, и пространственное отношение как таковое можно мыслить in abstracto, – то, например, что синус увеличивается соответственно углу; но если требуется указать величину этого отношения, необходимо число. Необходимость переводить пространство с его тремя измерениями во время, имеющее только одно измерение, если мы хотим иметь абстрактное познание (т.е. знание, а не просто созерцание) пространственных отношений, – эта необходимость и делает столь трудной математику. Это станет очень ясно, если сравнить созерцание кривых с аналитическим вычислением их, или хотя бы только таблицы логарифмов тригонометрических функций – с созерцанием изменяющихся отношений между частями треугольника, выражаемых этими таблицами. То, что созерцание вполне и с предельной точностью схватывает здесь с первого взгляда, например, как уменьшается косинус с увеличением синуса, как косинус одного угла является синусом другого, обратное соотношение между уменьшением и увеличением обоих углов и т.д., – все это потребовало бы огромной ткани чисел и утомительного вычисления, чтобы выразиться in abstracto. Можно сказать: какие муки должно вынести время со своим одним измерением, чтобы передать три измерения пространства! Между тем это необходимо, если мы хотим ради практических целей, чтобы пространственные отношения были фиксированы в абстрактных понятиях: первые могут выразиться в последних не непосредственно, а лишь через посредство чисто временной величины, числа, которое одно непосредственно пригодно для абстрактного познания. Замечательно еще и то, что, если пространство вполне подходит для созерцания и при помощи своих трех измерений позволяет легко обозреть даже сложные отношения, оказываясь, однако, недоступным для абстрактного познания, то время, наоборот, легко укладывается в отвлеченные понятия,