В самом деле, если вдуматься в замечание Тауринуса, то возникает следующий вопрос: не означает ли прямая, поставленная в связь с другой, параллельной ей, особой прямой, прямой, более богатой, — короче, не есть ли она уже сложное (составное) понятие, поскольку, с точки зрения функциональной, большая окружность на сфере, аналогичная прямой на плоскости, не может иметь параллельных ей. Именно это выразил П. Барбарэн, напоминая, что еще в 1826 г. Тауринус высказал мнение, что “если пятый постулат Евклида неверен, то, по-видимому, могут существовать искривленные поверхности, на которых некоторые кривые имеют свойства, аналогичные свойствам прямых на плоскости, кроме свойства, выраженного в пятом постулате; смелая догадка, подтвержденная спустя сорок лет в результате открытия Бельтрами псевдосферы”8. Следовательно, если прямые рассматриваются как геодезические линии на евклидовой плоскости, мы неизбежно будем возвращаться к ведущей идее Тауринуса, которая состоит в том, чтобы перевести математические понятия в область более широких смыслов (и соответственно область менее понятную), и трактовать понятия только в соответствии с их строго определенной функциональной ролью.

Прежде всего не стоит спешить распространять трактовку в духе математического реализма с линии на поверхность и воображать, что только принадлежность линии некоторой поверхности придает линии характер реальности. Проблема математической реальности более скрыта, менее непосредственна, более отдаленна и абстрактна. Точнее было бы сказать, что реальность какой-либо линии усиливается, укрепляется ее принадлежностью ко множеству различных поверхностей или — еще лучше — что суть некоего математического понятия измеряется возможностями изменения его содержания, что позволяет расширить область применения этого понятия. Говоря в общей форме, именно то, что обнаруживается как то же самое в самых различных применениях, и может служить основой для определения материальной реальности. Этот факт тотчас же обнаруживается, когда обращаются к исследованию математической реальности. Следовательно, здесь нужно выделить один момент — то, что мерой математической реальности является скорее широта области применения понятий, нежели их понятность. Математическая мысль приобретает свой действительный размах с принятием идеи изменчивости, связи, возможности различных применений. Разве это не вершина диалектической игры мысли, когда расширение сферы применения достигает максимального размаха, а преобразование понятий объединяет самые несхожие, самые далекие друг от друга формы?

Именно в такой деятельности дух может установить степень своей связи с математической реальностью. Обратимся к тому, что было определяющим в неевклидовой революции.

В сравнении с изысканиями Ламберта в построениях Лобачевского и Бояи заключена более смелая диалектика. Это связано с тем, что цепь теорем, которые вытекают из неевклидова варианта теоремы о параллельных, тянется все дальше и дальше и все более освобождается от того, чтобы руководствоваться аналогиями. Можно сказать, что в течение 25 лет Лобачевский скорее занимался расширением сферы своей геометрии, чем ее обоснованием. Но так же верно, что ее можно обосновать лишь в ходе расширения. Кажется, Лобачевский хотел доказать существование движения, двигаясь. Но можно ли справиться с видимым противоречием, продолжая таким образом дедукции, исходя из предпосылки, которую с самого начала можно было бы квалифицировать как абсурдную? Вот вопрос, поднимающий множество проблем на стыке эпистемологии и психологии. Со строго эпистемологических позиций начала неевклидовой геометрии излагают обычно следующим образом.

Поскольку прямо доказать евклидово положение не удается, примем его за истину, к которой нужно прийти посредством приведения к абсурду. Для этого заменим это положение на противоположное и осуществим необходимую процедуру выводов, исходя из изменившейся системы постулатов. Разумеется, полученные выводы будут противоречить исходным посылкам. Но поскольку рассуждение верно в логическом отношении, неверным будет исходный тезис. Следовательно, нужно вернуться к положению Евклида, которое тем самым будет доказано.

Но это эпистемологическое резюме быстро теряет характер убедительности, стоит нам обратиться к Пангеометрии Лобачевского 1855 года. В этом случае мы не только замечаем, что никакого противоречия не появляется, но и вскоре отдаем себе отчет в том, что перед нами — возможность открытой дедукции. В то время как в случае трактовки какой-либо проблемы способом “от противного” мы достаточно быстро приходим к заключению, где абсурдность становится очевидной, система дедуктивных заключений, предпосылкой которой является диалектика Лобачевского, предстает для сознания ученика как все более солидная. Говоря психологическим языком, больше нет оснований ждать противоречия в цепи рассуждений как Лобачевского, так и Евклида. Со временем эта эквивалентность будет показана благодаря работам Клейна и Пуанкаре, но она обнаруживается уже в психологическом плане. Здесь есть небольшой нюанс, которым обычно пренебрегают философы, выносящие суждения на основании окончательных результатов.