Вычислив последнюю производную части последовательности
индексов, начинающихся с последней вертикальной черты, вставляем
ее вместо этой части во всю последовательность индексов. При этом
следует различать два случая. Или при вычислении последней
производной части последовательности индексов, отделенной
последней вертикальной чертой, индекс, стоящий в ее начале пропал
(т.е. при образовании n-ой производной от (n-1)-ой он оказался
вместе с последующими после него индексами заменен своим
числителем), или нет.
Во втором случае, когда этот индекс не пропадает, мы
останавливаемся и считаем всю последовательность индексов,
измененную вследствии замены части последовательности индексов,
отделенной вертикальной чертой, ее последней производной и эту
измененную последовательность считаем последней производной всей
характерной последовательности индексов, а тем самым и ее
показателем.
В первом случае, когда пропадает последний индекс с
вертикальной чертой, начинающий отделенную ею часть
последовательности индексов, также и во всей последовательности
индексов эта черта пропадает, а число всех вертикальных черт
последовательности уменьшается на одну. В таком случае мы
продолжаем продвижение согласно этому же предписанию так долго,
покаместь не придем к какому-то индексу с чертой, который уже не
сокращается или же не пропадут все индексы с чертами и мы не
придем к последовательности индексов без черт, которую уже больше
не удается сократить. Последовательность индексов, являющуюся
последней в этой процедуре, мы называем последней производной
характерной последовательности индексов исследуемого выражения и
его показателем.
Покажем эти новые действия на примере следующего выражения:

(Пfg):.(Пx).f x --> g x: -->: (Пx). f x .-->. (Пx). g x ....(A)
¦ s ¦s s s s s ¦ s s s ¦s s
+--- +-- ---n --- - n --- +--- --- n --- +-- -- n
¦ s ¦s s ss n ss ¦ s n ss ¦s n

характерная этому выражению последовательность имеет вид:

¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s ¦ s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n +-- -- n ....(I)
¦ s ss ¦ s ss n n ss ¦ s n ¦ s n

Сначала получим последнюю производную части, отделенной последней
вертикальной чертой:
1) ¦ s s 2) ¦ s 3)
+--- -- n +--s s.
¦ s n ¦ s

Теперь заменим в (I) часть, отделенную последней вертикальной
чертой, ее последней производной; таким образом, одной чертой
стало меньше. Мы получим:

¦ s s ¦ s s s s s ¦ s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- +--- -- n s ..............(II)
¦ s ss ¦ s ss s s ss ¦ s n

С последовательностью (II) мы поступаем также, как поступили с (I):

¦ s s ¦ s s s s s
+--- --- +--- --- ---n---n --- ss ........................(III)
¦ s ss ¦ s ss n n ss

К (I) опять применяем ту же процедуру. Таким образом мы ищем
последнюю производную части, отделенную в (III) последней
вертикальной чертой. Так как эта процедура несколько длиннее, то
мы ее приводим:

¦ s s s s s
+--- --- ---n---n --- ss .................................(1)
¦ s ss n n ss

¦ s s s s
+--- ---s ---n --- ss ......................................(2)
¦ s ss n ss

¦ s s s
+--- ---ss --- ss ...........................................(3)
¦ s ss ss

¦ s s
+---s --- ss ..................................................(4)
¦ s ss

¦ s
+---ss..........................................................(5)
¦ s

ss..............................................................(6)

Это значение мы подставляем вместо части, отделенной в (III)
последней чертой и получаем:

¦ s s
+--- ---ss....................................................(IV)
¦ s ss

Теперь легко вычисляем последнюю производную этой оставшейся
последовательности индексов. Ею является
s.
Найденная таким образом последняя производная первичной
последовательности индексов является показателем выражения (А).
Для примера исследуем еще случай, когда не все индексы с
чертами пропадают. Возьмем выражение
(Пx). f x: -->: (Пx). g(x,z) (B)
¦s s s ¦s n
+-- -- n --- +-- ---n n
¦s n ss ¦s nn

характерная ему последовательность индексов имеет вид:

s ¦s s ¦s n
--- +-- -- n +-- ---n n (I)
ss ¦s n ¦s nn

Образуем последнюю производную части, отделенную последней
вертикальной чертой.