Скачать 18.87 Кбайт
О синтаксической связности
ниже $ 7).
Сейчас мы займемся такими выражениями, в которые входят операторы.
II.
7. Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка,
благодаря тому значению, каким оно обладает, можно причислить к
определенной категории значения и таким образом снабдить его
соответствующим индексом. Все составные выражения можно
анализировать по схеме "функторы и их аргументы" только тогда,
когда это предположение выполнено. Для некоторых языков это
предположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, для
некоторых символических языков оно не выполняется. Здесь мы имеем
в виду такие языки, в которых используются т.н. операторы. Этот
термин охватывает такие знаки, как например, логический знак
всеобщности вида "(Пx)" или "(x)", называемый также
квантификатором общности 6), затем логический знак существования
или частичный квантификатор "(Еx)", затем алгебраический знак
суммирования (сигма в пределах от к=1 до n - Б.Д.), знак
произведения "П" (в пределах от x=1 до 100 - Б.Д.), знак
определенного интеграла (dx от 0 до 1 - Б.Д.) и т.п. Все эти
знаки имеют одно общее свойство: они всегда относятся к
выражениям, содержащим одну или более переменных и низводят одну
или более из них к роли мнимой переменной. Таким образом, если
оператор относится, например, к выражению, содержащему только
одну переменную, то возникает сложное выражение, имеющее
определенное значение.
Так, например, выражения "(Еx).x есть человек", "Ex¤(знак
суммирования сигма в пределах от x=1 до 10 - Б.Д.) имеют
определенные значения, хотя в них и входят переменные. Благодаря
оператору эти переменные становятся мнимыми переменными, или же,
говоря иначе, переменными, связанными оператором.
Итак, разложение содержащего оператор выражения на функторы
и их аргументы, категории значения которых были бы взаимно
согласованы, например, общего предложения "(Пx).fx", кажется,
встречается с непреодолимыми трудностями.
Не вникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)"
сразу отбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксического
строения общего предложения "(Пx).fx", согласно которой в таком
предложении оператор "(Пx)" играл бы роль главного функтора, а
принадлежащая ему пропозициональная функция - роль его аргумента.
Если бы этот синтаксический анализ общего предложения
соответствовал действительности, то нужно было бы причислить
квантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которые с одним
предложением в качестве своего аргумента образуют предложение и
таким образом принадлежат к категории s/s. Однако следует
заметить, что в экстенсиональной логике функтор типа s/s должен
быть истинностнозначным (truth functor). Тем самым пробег его
значений должен соответствовать одной из четырех таблиц:
p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p
---+--- ---+--- ---+--- ----+----
0 ¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0
--+--- --+--- --+--- ---+----
1 ¦ 1 1 ¦ 0 1 ¦ 1 1 ¦ 0
¦ ¦ ¦ ¦
Другими словами, если бы квантификатор всеобщности был функтором
s/s, то предложение
(Пx).fx
должно было бы быть эквивалентно либо 1) fx, либо 2) ~fx, либо
3) независимо от x должно было бы быть всегда истинным, либо 4)
всегда быть ложно. Однако все эти случаи не соответствуют смыслу,
какой связывается с выражением "(Пx).fx". Следовательно, в
экстенсиональной логике нельзя понимать оператор "(Пx)" как
функтор типа s/s. Однако поскольку этот оператор совместно с
предложением "fx" образует предложение, то он не может быть иным
функтором.
Однако возникает догадка, что синтаксическое строение общего
предложения
(Пx).fx
может быть также интерпретировано иначе, чем прежде. Может не
"(Пx)" является в этом предложении главным функтором, а "fx" -
его аргументом, но может знак "П" является главным функтором, а
"x" его первым, тогда как "fx" - его вторым аргументом. Тогда
следовало бы общее предложение правильно записывать в виде
П(x,fx).
Поскольку "x"может принадлежать к разным категориям
значения, постольку также и "П" должно было бы быть многозначным
в смысле своего типа. Например, если "x" принадлежит к категории
предложений, "f" - к категории s/n, то для того, чтобы "П(x,fx)"
было предложением "П" должно было бы принадлежать к категории
s/ss. В этом случае "П" должно было бы в экстенсиональной логике
быть двузначным функтором истинности, а тем самым должно было бы
соответствовать одной из 16 известных таблиц для двузначных
функторов истинности.
Сейчас мы займемся такими выражениями, в которые входят операторы.
II.
7. Выше мы предположили, что каждое простое выражение языка,
благодаря тому значению, каким оно обладает, можно причислить к
определенной категории значения и таким образом снабдить его
соответствующим индексом. Все составные выражения можно
анализировать по схеме "функторы и их аргументы" только тогда,
когда это предположение выполнено. Для некоторых языков это
предположение, возможно, и выполнимо, однако, как кажется, для
некоторых символических языков оно не выполняется. Здесь мы имеем
в виду такие языки, в которых используются т.н. операторы. Этот
термин охватывает такие знаки, как например, логический знак
всеобщности вида "(Пx)" или "(x)", называемый также
квантификатором общности 6), затем логический знак существования
или частичный квантификатор "(Еx)", затем алгебраический знак
суммирования (сигма в пределах от к=1 до n - Б.Д.), знак
произведения "П" (в пределах от x=1 до 100 - Б.Д.), знак
определенного интеграла (dx от 0 до 1 - Б.Д.) и т.п. Все эти
знаки имеют одно общее свойство: они всегда относятся к
выражениям, содержащим одну или более переменных и низводят одну
или более из них к роли мнимой переменной. Таким образом, если
оператор относится, например, к выражению, содержащему только
одну переменную, то возникает сложное выражение, имеющее
определенное значение.
Так, например, выражения "(Еx).x есть человек", "Ex¤(знак
суммирования сигма в пределах от x=1 до 10 - Б.Д.) имеют
определенные значения, хотя в них и входят переменные. Благодаря
оператору эти переменные становятся мнимыми переменными, или же,
говоря иначе, переменными, связанными оператором.
Итак, разложение содержащего оператор выражения на функторы
и их аргументы, категории значения которых были бы взаимно
согласованы, например, общего предложения "(Пx).fx", кажется,
встречается с непреодолимыми трудностями.
Не вникая во внутреннее строение составного оператора "(Пx)"
сразу отбросим напрашивающуюся интерпретацию синтаксического
строения общего предложения "(Пx).fx", согласно которой в таком
предложении оператор "(Пx)" играл бы роль главного функтора, а
принадлежащая ему пропозициональная функция - роль его аргумента.
Если бы этот синтаксический анализ общего предложения
соответствовал действительности, то нужно было бы причислить
квантификатор всеобщности "(Пx)" к тем функторам, которые с одним
предложением в качестве своего аргумента образуют предложение и
таким образом принадлежат к категории s/s. Однако следует
заметить, что в экстенсиональной логике функтор типа s/s должен
быть истинностнозначным (truth functor). Тем самым пробег его
значений должен соответствовать одной из четырех таблиц:
p ¦f1p p ¦f2p p ¦f3p p ¦ f4p
---+--- ---+--- ---+--- ----+----
0 ¦ 0 0 ¦ 1 0 ¦ 1 0 ¦ 0
--+--- --+--- --+--- ---+----
1 ¦ 1 1 ¦ 0 1 ¦ 1 1 ¦ 0
¦ ¦ ¦ ¦
Другими словами, если бы квантификатор всеобщности был функтором
s/s, то предложение
(Пx).fx
должно было бы быть эквивалентно либо 1) fx, либо 2) ~fx, либо
3) независимо от x должно было бы быть всегда истинным, либо 4)
всегда быть ложно. Однако все эти случаи не соответствуют смыслу,
какой связывается с выражением "(Пx).fx". Следовательно, в
экстенсиональной логике нельзя понимать оператор "(Пx)" как
функтор типа s/s. Однако поскольку этот оператор совместно с
предложением "fx" образует предложение, то он не может быть иным
функтором.
Однако возникает догадка, что синтаксическое строение общего
предложения
(Пx).fx
может быть также интерпретировано иначе, чем прежде. Может не
"(Пx)" является в этом предложении главным функтором, а "fx" -
его аргументом, но может знак "П" является главным функтором, а
"x" его первым, тогда как "fx" - его вторым аргументом. Тогда
следовало бы общее предложение правильно записывать в виде
П(x,fx).
Поскольку "x"может принадлежать к разным категориям
значения, постольку также и "П" должно было бы быть многозначным
в смысле своего типа. Например, если "x" принадлежит к категории
предложений, "f" - к категории s/n, то для того, чтобы "П(x,fx)"
было предложением "П" должно было бы принадлежать к категории
s/ss. В этом случае "П" должно было бы в экстенсиональной логике
быть двузначным функтором истинности, а тем самым должно было бы
соответствовать одной из 16 известных таблиц для двузначных
функторов истинности.
|
|