Скачать 18.87 Кбайт
О синтаксической связности
Им является знак (x^), используемый для
образования символа класса, или же знак (x^y^), используемый в
символике отношений. Ведь если "fx^" представляет функцию
высказывания, то символ "(x^).fx" имеет денотатом то же, что и
функтор "f", а следовательно то же, что "fx^" (если не обращать
внимание на некоторые сложности, возникающие вследствие допущения
интенсиональных функций, от рассмотрения которых Расселл
отказался во втором издании Principia). То же можно сказать и об
эквивалентности символов "(x^y^).fxy" и "fx^y^".
Мы будем пользоваться знаками (x^) или (x^y^) также и в тех
случаях, когда выражение, к которому они относятся, не
принадлежит к категории предложений, так что мы вообще будем
писать "(x^).fx" вместо "fx^", а символ "fx^y^" можем заменить
"(x^y^).fxy". Измененное написание знака "^" ту дает выгоду, что
можно выделить всё выражение, на которое распространяется
действие оператора, тогда как в предыдущем написании это не было
возможно, что в сложных случаях может привести к многозначности.
Кроме того, новое написание неоднократно позволяет поочередно
применять оператор к выражению, т.е. допускает запись
"(x^):(y^).fxy", которая отлична от "(x^y^).fxy" (в старом
написании "fx^y^"). В новом написании более выразительно
проявляется характер символа "^" как оператора.
13. Символ (x^) (или (x^y^) и т.п.) как оператор получает в
нашей символике индексов индекс с чертой. Однако поскольку эти
операторы могут быть применены к выражениям разных категорий
значения и кроме того преобразуют их в выражения различных
категорий значения, то символ "^" не всегда получает один и тот
же индекс с чертой.
Обобщенное словесное определение (унарного) оператора "(x^)"
звучит следующим образом: оператор "(x^)", относящийся к
переменной X в выражении А, образует с этим выражением функтор,
который с переменной X как со своим аргументом образует
выражение, эквивалентное выражению А. Это можно
продемонстрировать на следующем примере, в котором выражение А
имеет вид "fx", а переменная X - вид "x":
(x^).fx:x.:.fx.
Из сказанного видно, что если выражение А, к которому
относится оператор, имеет показатель "Е1", а переменная X -
индекс "Е2", то оператор должен иметь индекс с чертой:
¦ Е1
¦----
¦ Е2
+-----
¦ Е1
В зависимости от того, какие индексы ставятся вместо "Е1" и "Е2",
снабженный чертой индекс нашего оператора принимает различный вид.
Аналогично обстоит дело для многократных операторов типа
(x^y^).
Как уже было отмечено, роль оператора "^", как кажется,
исчерпывается связыванием переменной. Однако роль других
операторов простирается дальше. Главное различие между функтором
и оператором мы усматриваем в том, что оператор играет
связывающую роль, которую функтор не выполняет. Это приводит к
мысли, что роль таких операторов, которые не только связывают,
возможно удасться разложить так, что связывающую роль оператора
выполняет знак "^", тогда как вторую роль исполняет функтор.
Введем, например, функтор "U", который получит индекс
s
---
s
---
n
т.е. с синтаксической точки зрения мы будем понимать его как
такой функтор, который с функтором типа s/n как со своим
аргументом образует предложение. Установивши таким образом
категорию функтора "U", определим его, говоря: выражение "U(f)"
является выполнимым на месте "f" всеми и только теми функторами
типа s/n, которые с каждым именем образуют истинное предложение.
Итак, имеем:
U(f)..(Пx).fx .
Назовем такой функтор универсальным функтором. Тогда можно
было бы заменить квантификатор всеобщности универсальным
функтором везде в тех местах, где мы могли бы для
высказывательной функции, к которой относится оператор "(Пx)",
привести такой функтор, который со связанной оператором
переменной как своим аргументом образовывал бы выражение,
эквивалентное этой функции высказывания. Это всегда можно сделать
при помощи оператора "x^", поскольку "(x^).fx как раз и является
таким искомым для высказывательной функции "fx" функтором, в
каком бы виде эта высказывательная функция не выступала.
Следовательно, мы всегда можем вместо "(Пx).
образования символа класса, или же знак (x^y^), используемый в
символике отношений. Ведь если "fx^" представляет функцию
высказывания, то символ "(x^).fx" имеет денотатом то же, что и
функтор "f", а следовательно то же, что "fx^" (если не обращать
внимание на некоторые сложности, возникающие вследствие допущения
интенсиональных функций, от рассмотрения которых Расселл
отказался во втором издании Principia). То же можно сказать и об
эквивалентности символов "(x^y^).fxy" и "fx^y^".
Мы будем пользоваться знаками (x^) или (x^y^) также и в тех
случаях, когда выражение, к которому они относятся, не
принадлежит к категории предложений, так что мы вообще будем
писать "(x^).fx" вместо "fx^", а символ "fx^y^" можем заменить
"(x^y^).fxy". Измененное написание знака "^" ту дает выгоду, что
можно выделить всё выражение, на которое распространяется
действие оператора, тогда как в предыдущем написании это не было
возможно, что в сложных случаях может привести к многозначности.
Кроме того, новое написание неоднократно позволяет поочередно
применять оператор к выражению, т.е. допускает запись
"(x^):(y^).fxy", которая отлична от "(x^y^).fxy" (в старом
написании "fx^y^"). В новом написании более выразительно
проявляется характер символа "^" как оператора.
13. Символ (x^) (или (x^y^) и т.п.) как оператор получает в
нашей символике индексов индекс с чертой. Однако поскольку эти
операторы могут быть применены к выражениям разных категорий
значения и кроме того преобразуют их в выражения различных
категорий значения, то символ "^" не всегда получает один и тот
же индекс с чертой.
Обобщенное словесное определение (унарного) оператора "(x^)"
звучит следующим образом: оператор "(x^)", относящийся к
переменной X в выражении А, образует с этим выражением функтор,
который с переменной X как со своим аргументом образует
выражение, эквивалентное выражению А. Это можно
продемонстрировать на следующем примере, в котором выражение А
имеет вид "fx", а переменная X - вид "x":
(x^).fx:x.:.fx.
Из сказанного видно, что если выражение А, к которому
относится оператор, имеет показатель "Е1", а переменная X -
индекс "Е2", то оператор должен иметь индекс с чертой:
¦ Е1
¦----
¦ Е2
+-----
¦ Е1
В зависимости от того, какие индексы ставятся вместо "Е1" и "Е2",
снабженный чертой индекс нашего оператора принимает различный вид.
Аналогично обстоит дело для многократных операторов типа
(x^y^).
Как уже было отмечено, роль оператора "^", как кажется,
исчерпывается связыванием переменной. Однако роль других
операторов простирается дальше. Главное различие между функтором
и оператором мы усматриваем в том, что оператор играет
связывающую роль, которую функтор не выполняет. Это приводит к
мысли, что роль таких операторов, которые не только связывают,
возможно удасться разложить так, что связывающую роль оператора
выполняет знак "^", тогда как вторую роль исполняет функтор.
Введем, например, функтор "U", который получит индекс
s
---
s
---
n
т.е. с синтаксической точки зрения мы будем понимать его как
такой функтор, который с функтором типа s/n как со своим
аргументом образует предложение. Установивши таким образом
категорию функтора "U", определим его, говоря: выражение "U(f)"
является выполнимым на месте "f" всеми и только теми функторами
типа s/n, которые с каждым именем образуют истинное предложение.
Итак, имеем:
U(f)..(Пx).fx .
Назовем такой функтор универсальным функтором. Тогда можно
было бы заменить квантификатор всеобщности универсальным
функтором везде в тех местах, где мы могли бы для
высказывательной функции, к которой относится оператор "(Пx)",
привести такой функтор, который со связанной оператором
переменной как своим аргументом образовывал бы выражение,
эквивалентное этой функции высказывания. Это всегда можно сделать
при помощи оператора "x^", поскольку "(x^).fx как раз и является
таким искомым для высказывательной функции "fx" функтором, в
каком бы виде эта высказывательная функция не выступала.
Следовательно, мы всегда можем вместо "(Пx).
|
|