Таким образом, кардинальное число есть класс всех тех классов, которые подобны  данному классу. Это определение оставляет неизменным истинностное значение всех пропозиций, в которые входят кардинальные числа, и избегает отсылки к множеству сущностей, называемых  'кардинальными числами', которые не требуются нигде, кроме как с целью сделать арифметику понятной, а теперь более нет нужды и в этой цели.    Вероятно, даже более важным является тот факт, что с помощью сходных методов можно обойтись без классов. Математика полна пропозиций, которые, по-видимому, требуют, чтобы класс или агрегат был бы в некотором смысле единой сущностью - например, пропозиция 'число комбинаций п предметов любое количество раз равно 2"'. Поскольку 2" всегда больше, чем п, эта пропозиция приводит к затруднениям, если допускаются классы, поскольку число классов сущностей в универсуме больше, чем число сущностей в универсуме, что было бы странно, если бы классы были некоторыми из сущностей. К счастью, все пропозиции, в которых, как кажется, упоминаются  классы, могут быть интерпретированы без допущения, что существуют классы. Это, возможно, наиболее важные приложения нашего принципа. (См. style='font-size:10.0pt;'> Principia Mathematica, *20.) style='font-size:10.0pt'>   Другой важный  пример связан с тем, что я называю 'определёнными  дескрипциями', т.е. с такими фразами, как 'чётное и простое' style='font-size:10.0pt;'> ['the even prime'], style='font-size:10.0pt'> 'нынешний король Англии' style='font-size:10.0pt;'> ['the present King of England'], 'нынешний король Франции' lang=EN-US style='font-size:10.0pt;'> ['the present King of France']. Затруднения всегда возникали при интерпретации таких пропозиций, как 'Нынешний король Франции не существует'. Затруднение вырастает из предположения, что 'нынешний король Франции' является субъектом данной пропозиции, что приводило к необходимости предположить, что он обладает подобием существования, хотя он и не существует. Но затруднительно приписать даже подобие существования 'круглому квадрату' или 'чётному и простому, которое больше чем 2'. Фактически 'круглый квадрат не существует' истинно в той же степени, как и 'нынешний король Франции  не существует'. Таким образом, различие между существованием и подобием существования нам не поможет. Факт в том, что когда слова 'определённый такой-то и такой-то' style='font-size:10.0pt;'> ['the so-and-so'] style='font-size:10.0pt'> входит в пропозицию, отсутствует соответствующая единственная конституенга пропозиции, и когда пропозиция вполне проанализирована, слова 'определённый такой-то и такой-то' исчезают. Важное следствие теории дескрипций заключается в том, что бессмысленно сказать: 'А существует', если '^4' не является (или не обозначает) фразу формы  'определённый такой-то и такой-то'. Если определённый такой-то и такой-то существует, и х есть такой-то и такой-то, сказать: 'х существует' бессмысленно. Существование в том смысле, в котором оно приписывается единичным сущностям, таким образом удаляется из списка категорий. Обнаруживается, что онтологический аргумент и большинство его опровержений зависят от плохой грамматики. (См. Principia Mathematica, *14.)    Существует множество  других примеров подстановки конструкций вместо выводов  в чистой математике, например, ряды, ординальные числа и действительные числа. Но я перейду к примерам из физики.    Очевидными  примерами являются точки и моменты времени. Д-р Уайгхея показал, как сконструировать их из множества событий, каждое из которых имеет конечную протяжённость и конечную длительность. В теории относительности отсутствуют точки или моменты времени, в которых мы первоначально нуждались, но имеются события-частицы style='font-size:10.0pt;'> [event-particles], style='font-size:10.0pt'> которые в старом языке соответствуют тому, что может быть описано как точка в момент времени или моментальная точка. (Прежде, точка пространства длилась на протяжении всего времени, а момент времени охватывал всё пространство. Сейчас требуемое математической физикой единство не имеет ни пространственного, ни временного протяжения.) События-частицы конструируются посредством того же самого логического процесса, посредством которого конструировались точки и моменты. В таких конструкциях мы, однако, находимся в плоскости, отличной от конструкций в чистой математике. Возможность конструирования события-частицы зависит от существования множества событий с определёнными свойствами; существуют ли требуемые события, может быть известно только эмпирически, если вообще может. Следовательно, style='font-size:10.