Технические методы  математической логики, развитые в этой книге, кажутся мне очень сильными и способными обеспечить новый инструментарий для обсуждения многих проблем, которые до сих пор оставались подчинёнными философской нечёткости. Понятие природы и Принципы Естественного познания   д-ра Уайтхеда*, могут служить иллюстрацией того, что я имею  в виду.    Когда чистая математика организуется как дедуктивная система - т.е. как множество всех тех пропозиций, которые могут быть выведены  из определённого множества предпосылок, - становится очевидным, что если мы убеждены в истинности чистой математики, последнее не может быть только в результате того, что мы убеждены  в множестве предпосылок. Некоторые из предпосылок много менее очевидны, чем некоторые из их следствий. Последнее обнаруживается всегда, когда наука упорядочивается как дедуктивная  система. Логически простейшие пропозиции системы не являются наиболее очевидными и не обосновывают главной части наших  причин уверенности в системе. В случае эмпирических наук это очевидно. Электродинамика, например, может быть сконцентрирована в уравнениях Максвелла, но в этих уравнениях уверены из-за наблюдаемой истинности некоторых из их логических следствий. В точности то же самое происходит в чистой области логики; логически первые принципы логики - по крайней мере некоторые из них - должны приниматься на веру, не сами по себе, но из-за своих следствий. Эпистемологический вопрос: 'Почему я убеждён  в данном множестве пропозиций?', совершенно отличен от логического вопроса: 'Что представляет собой наименьшая и логически наипростейшая группа пропозиций, из которой может быть выведена  данная группа пропозиций?'. Причины нашей уверенно сти в логике и чистой математике, отчасти, только индуктивны и style='font-size:10.0pt'>вероятны, несмотря на тот факт, что в своём логическом порядке пропозиции логики и чистой математики следуют из предпосылок логики посредством чистой дедукции. Я считаю этот пункт важным, поскольку ошибки склонны вырастать из уподобления логического порядка эпистемодогическому, а также и наоборот, из уподобления эпистемологического порядка логическому. Единственный способ, которым работы по математической логике проливают свет на истинность или ложность математики, заключается в опровержении предполагаемых антиномий. Последнее показывает, что математика может быть истинной. Но демонстрация того, что математика является истинной, требует других методов и других рассмотрении. Одна очень важная эвристическая максима, которую д-р Уайт-хед и я на опыте обнаружили применимой в математической логике и с тех пор применяли в других областях, представляет собой форму бритвы Оккама. Когда некоторое множество предполагаемых  сущностей обладает чёткими логическими свойствами, оказывается, на большом количестве примеров, что предполагаемые сущности могут быть заменены чисто логическими структурами, составленными из сущностей, не обладающими такими чёткими свойствами. В этом случае, при интерпретации остова пропозиций, в которых прежде уверились как в пропозициях о предполагаемых сущностях, мы можем заменить логические структуры без изменения какой-либо детали остова рассматриваемых пропозиций. Последнее является экономией, поскольку сущности с четкими логическими свойствами всегда выводные, и если пропозиции, в которых они встречаются, могут быть интерпретированы без осуществления этого вывода, теряется основание для вывода, и наш остов пропозиции защищён  от необходимости в сомнительном шаге. Принцип может быть установлен в форме: 'Везде, где только возможно, заменяй конструкции из известных для вывода сущностей на неизвестные сущности'.    Использования данного принципа очень различны, но не понятны в деталях тем, кто не знаком с математической логикой. Первый пример, к которому я перейду, - это то, что я назвал 'принципом  абстракции' или 'принципом обходиться без абстракций'1. Данный  принцип применим  в случае любого симметричного и транзитивного отношения, такого как равенство. Мы склоняемся к заключению, что такие отношения вырастают из предположения некоторого общего качества. Последнее может быть истинным или же нет; вероятно, это может быть истинным в одних случаях, но неистинным в других. Но все формальные назначения общего качества могут быть сохранены элементами группы членов, имеющих рассматриваемое отношение к данному члену. Возьмём, например, величину. Предположим, что у нас есть группа стержней, и все они одинаковой длины. Легко предположить, что существует определённое качество, называемое их длиной, которое все они разделяют. Но все пропозиции, в которых встречается это предполагаемое качество, будут сохранять своё истинностное значение неизменным, если вместо 'длина стержня х' мы возьмём 'элемент группы всех тех стержней, которые обладают длиной такой же, как у х\ В других специальных случаях - например, при определении действительных чисел - возможны более простые конструкции.    Весьма важным примером данного принципа я