Если  я говорю: 'х - человек' или 'и - число', это - пропозициональные функции; таковой является любая формула алгебры, скажем, (х + + у)(х - у) = х2 - у2. Пропозициональная функция есть ничто, но, как и большинство того, о чём намереваются вести речь в логике, она из-за этого не теряет своей важности. Действительно, единственное, что вы можете сделать с пропозициональной функцией, так это утверждать, что она либо всегда истинна, либо иногда истинна, либо никогда не истинна. Когда вы берёте:

               'Если х - человек, то х смертей',

это всегда истинно (и тогда, когда х не является человеком, в той же степени, когда х является человеком); если вы берёте:

                        'х-человек', это иногда истинно; если вы берёте:

                          'х - единорог',

это никогда не истинно.    Можно назвать пропозициональную функцию

      необходимой, когда она истинна всегда;       возможной, когда она истинна иногда;       невозможной, когда она не истинна никогда.

   Много ложной философии вырастает из смешения пропозициональных функций и пропозиций. В обычной традиционной философии есть много такого, что связано просто с приписыванием пропозициям таких предикатов, которые приложймы  только к пропозициональным функциям и иногда, что ещё хуже, с приписыванием  индивидуумам style='font-size:10.0pt;'>  [individuals] предикатов, приложимых единственно к пропозициональным функциям. Случай с необходимостью, возможностью,  невозможностью как раз такой. В любую традиционную философию входит раздел 'модальности', где необходимость, возможность и невозможность обсуждаются как свойства пропозиций, тогда как на самом деле они являются свойствами пропозициональных функций. Пропозиции  же являются только истинными или ложными.

   Если вы берёте 'х есть х', это - пропозициональная функция, являющаяся истинной при каком угодно х, т.е. необходимая пропозициональная функция. Если вы берёте 'х - человек', это - возможная пропозициональная функция. Если вы берёте 'х - единорог', это - невозможная пропозициональная функция.    Пропозиции могут быть только истинными или ложными, но пропозициональные функции обладают этими тремя возможностями. Я думаю, важно осознать, что всё учение о модальностях прило-жимо только к пропозициональным функциям, а не к пропозициям.    В обыденном языке пропозициональные функции затрагиваются в огромном количестве случаев, где их обычно не осознают. Например, высказывание типа 'Я встретил [какого-то] человека' [I lang=EN-US>met a man], вы можете понять совершенно правильно, не зная, кого я встретил, и фактический человек не является конституенгой пропозиции. На самом деле здесь утверждается, что определённая пропозициональная функция иногда является истинной, а именно, пропозициональная функция 'Я встретил х, и х - человек'. Существует по крайней мере одно значение х, для которого она является истинной, следовательно, она - возможная пропозициональная функция. Где бы вы не встретили неопределённый артикль или слова типа 'некоторый', 'все', 'каждый', это всегда знак присутствия пропозициональной функции, так что эти вещи, так сказать, не отдалены и переделаны; они очевидны и хорошо знакомы. Пропозициональная функция к тому же входит в такое утверждение, как 'Сократ смертей', поскольку 'быть смертным' означает 'умереть в тот или иной момент времени'. Имеется в виду, что существует момент времени, в который Сократ умрёт, и это вновь затрагивает пропозициональную функцию, а именно, что '/ - момент времени, и Сократ умрёт в момент времени /' является возможным.  Если вы скажете: 'Сократ бессмертен', последнее также будет затрагивать пропозициональную функцию. Если мы рассматриваем бессмертие, как затрагивающее существование в течение всего прошлого и в течение всего будущего, то последнее означает, что 'Если / - какой-то момент времени вообще; Сократ жив в момент времени f. Но если мы рассматриваем бессмертие только как затрагивающее существование в течение всего будущего, интерпретация 'Сократ бессмертен' становится более сложной, а именно, 'Существует такой момент времени /, что если / - любой момент времени, наступивший позднее /, то Сократ жив в момент времени  /'. Таким образом, когда вы начинаете переписывать надлежащим образом то, что подразумевается значительным количеством обыденных утверждений, последние оказываются немного усложнённым. 'Сократ смертей' и 'Сократ бессмертен' не противоречат друг другу, поскольку и то и другое влечёт существование Сократа во времени, иначе он не был бы либо смертным, либо бессмертным.